Considere os limites a seguir:
I. \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{5}-4 x^{2}}{2 x^{3}+x^{2}+3}
II. \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\cos 2 x}{x^{2}}
III. \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{2 x}-2}{x^{2}-4}
IV. \lim _{x \rightarrow-3} \frac{2|x|-4}{x^{2}-5}
Quantos deles valem zero?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Passo 1

O enunciado pede para calcular quatro limites
I. \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{x^{5}-4x^{2}}{2x^{3}+x^{2}+3}
II. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{\cos 2x}{x^{2}}
III. \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{2x}-2}{x^{2}-4}
IV. \displaystyle \lim_{x\to -3}\frac{2|x|-4}{x^{2}-5}
e contar quantos desses limites valem zero. O conteúdo envolve limites no infinito de funções racionais e trigonométricas, limite fundamental de 0/0 com radical e limite de função com valor absoluto.

Passo 2

Para I, usamos que o termo de maior grau no numerador é x^{5} e no denominador é 2x^{3}. Logo
\frac{x^{5}-4x^{2}}{2x^{3}+x^{2}+3}\sim\frac{x^{5}}{2x^{3}}=\frac{x^{2}}{2}\quad\text{quando }x\to-\infty,
e como x^{2}/2\to+\infty, esse limite não é zero.

Passo 3

Para II, \cos 2x é limitada em [-1,1] e o denominador cresce sem limite. Logo
\lim_{x\to+\infty}\frac{\cos 2x}{x^{2}}=0.

Passo 4

Para III temos indeterminação 0/0. Racionalizamos o numerador multiplicando por \sqrt{2x}+2:
\frac{\sqrt{2x}-2}{x^{2}-4} =\frac{(\sqrt{2x}-2)(\sqrt{2x}+2)}{(x-2)(x+2)(\sqrt{2x}+2)} =\frac{2x-4}{(x-2)(x+2)(\sqrt{2x}+2)} =\frac{2\,(x-2)}{(x-2)(x+2)(\sqrt{2x}+2)} =\frac{2}{(x+2)(\sqrt{2x}+2)}.
Ao fazer x\to2,
\frac{2}{(2+2)(\sqrt{4}+2)}=\frac{2}{4\cdot(2+2)}=\frac{2}{16}=\frac18\neq0.

Passo 5

Para IV, a função é contínua em x=-3. Como x está perto de -3, temos |x|=-x=3, portanto
2|x|-4\to2\cdot3-4=2, \quad x^{2}-5\to9-5=4,
e o limite é 2/4=1/2\neq0.

Passo 6

Somente o limite II vale zero. Logo há exatamente um limite igual a zero.

Resposta

b) 1

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