Considere a função
f(x)=\frac{-4 x+2}{(x-3)^{4}}
[ 1 / 3 dos pontos]
Determine a integral definida I=\int_{4}^{5} f(x) d x, para a f(x) dada acima.
Insira o valor da integral aqui I= \square

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I = \int_{4}^{5} \frac{-4x+2}{(x-3)^{4}} \,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções racionais por substituição simples, junto com a regra de potência \displaystyle \int u^{n}du = \tfrac{u^{n+1}}{n+1}+C.

Passo 2

Façamos a substituição
u = x - 3, \quad du = dx.
Quando x=4, u=1; quando x=5, u=2. Assim
I = \int_{u=1}^{u=2} \frac{-4(x)+2}{(u)^{4}}\,du
mas como x = u+3, o numerador fica
-4x+2 = -4(u+3)+2 = -4u -12 +2 = -4u -10.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
I = \int_{1}^{2} \frac{-4u - 10}{u^{4}}\,du = \int_{1}^{2} \Bigl(-4u^{-3} - 10u^{-4}\Bigr)\,du.

Passo 4

Aplicando a regra de potência em cada termo:
\int -4u^{-3}\,du = -4\cdot \frac{u^{-2}}{-2} = 2u^{-2}, \qquad \int -10u^{-4}\,du = -10\cdot \frac{u^{-3}}{-3} = \frac{10}{3}u^{-3}.
Logo uma antiderivada é
F(u) = 2u^{-2} + \tfrac{10}{3}u^{-3}.

Passo 5

Voltando a x, u = x-3, e avaliando de u=1 a u=2:
F(2) = 2\cdot 2^{-2} + \frac{10}{3}\,2^{-3} = \frac{2}{4} + \frac{10}{3\cdot 8} = \frac12 + \frac{5}{12} = \frac{11}{12},
F(1) = 2\cdot1^{-2} + \frac{10}{3}\,1^{-3} = 2 + \frac{10}{3} = \frac{6+10}{3} = \frac{16}{3}.
Portanto
I = F(2) - F(1) = \frac{11}{12} - \frac{16}{3} = \frac{11 - 64}{12} = -\frac{53}{12}.

Resposta

I = -\frac{53}{12}.

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