Calcule a integral iterada.
\begin{aligned} & \int_{0}^{2} \int_{0}^{\pi} r \operatorname{sen}^{2} \theta d \theta d r \\\ & \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \sqrt{s+t} d s d t \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais iteradas em retângulos:
I_{1}=\int_{0}^{2}\int_{0}^{\pi}r\,\sin^{2}\theta\,d\theta\,dr, \quad I_{2}=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\sqrt{s+t}\,ds\,dt.
O conteúdo é integração iterada de funções de duas variáveis, onde uma variável é tratada como constante na integração interna.

Passo 2

Cálculo de I_{1}: primeiro integramos em \theta, tratando r como constante. Usamos a identidade
\sin^{2}\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2},
então
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta =\int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos2\theta}{2}\,d\theta =\frac{1}{2}\Bigl[\theta-\tfrac{1}{2}\sin2\theta\Bigr]_{0}^{\pi} =\frac{1}{2}\bigl(\pi-0\bigr) =\frac{\pi}{2}.
Logo a integral interna vale \tfrac{\pi}{2}r.

Passo 3

Ainda em I_{1}, integramos em r:
I_{1} =\int_{0}^{2}\frac{\pi}{2}\,r\,dr =\frac{\pi}{2}\int_{0}^{2}r\,dr =\frac{\pi}{2}\Bigl[\tfrac{r^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{2} =\frac{\pi}{2}\cdot\frac{4}{2} =\pi.

Passo 4

Cálculo de I_{2}: primeiro integramos em s, tratando t como constante. Definindo u=s+t, temos
\int_{0}^{1}\sqrt{s+t}\,ds =\int_{t}^{t+1}\sqrt{u}\,du =\Bigl[\tfrac{2}{3}u^{3/2}\Bigr]_{u=t}^{u=t+1} =\frac{2}{3}\bigl((t+1)^{3/2}-t^{3/2}\bigr).

Passo 5

Agora integramos em t:
I_{2} =\int_{0}^{1}\frac{2}{3}\bigl((t+1)^{3/2}-t^{3/2}\bigr)\,dt =\frac{2}{3}\Bigl[\int_{0}^{1}(t+1)^{3/2}dt-\int_{0}^{1}t^{3/2}dt\Bigr].
Usando
\int_{0}^{1}(t+1)^{3/2}dt =\Bigl[\tfrac{2}{5}(t+1)^{5/2}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{2}{5}\bigl(2^{5/2}-1\bigr), \quad \int_{0}^{1}t^{3/2}dt =\Bigl[\tfrac{2}{5}t^{5/2}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{2}{5},
segue
I_{2} =\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{5}\Bigl(2^{5/2}-1-1\Bigr) =\frac{4}{15}\bigl(2^{5/2}-2\bigr) =\frac{16\sqrt{2}-8}{15}.

Resposta

I_{1}=\pi I_{2}=\displaystyle \frac{16\sqrt{2}-8}{15}

Exercícios relacionados