Considere a curva definida pela equação x y+\operatorname{sen}(x+y)=x. Determine a inclinação da reta tangente a esta curva no ponto de coordenadas (0, \pi).
Escolha uma opção:
◯ a. \pi
◯ b. -\pi
◯ C. \pi-2
◯ d. 0
◯ e. \pi+1

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente pela equação
x y+\operatorname{sen}(x+y)=x
e pede a inclinação da reta tangente a essa curva no ponto de coordenadas (0,\pi).
Informações relevantes fornecidas:
  • Equação da curva: \,x y+\operatorname{sen}(x+y)=x.
  • Ponto onde queremos a inclinação: (0,\pi).
  • O que é pedido: o valor de \dfrac{dy}{dx} (a inclinação) naquele ponto.

Passo 2

Primeiro vamos verificar que o ponto (0,\pi) realmente pertence à curva (sempre bom checar antes de derivar). Substituindo x=0 e y=\pi na equação:
0\cdot\pi+\operatorname{sen}(0+\pi)=0.
Como \operatorname{sen}(\pi)=0, a igualdade fica 0+0=0, que é verdadeira. Portanto o ponto está na curva.

Passo 3

Vamos obter uma fórmula para \dfrac{dy}{dx} por diferenciação implícita. Explicando as regras que vamos usar:
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, \dfrac{d}{dx}[u v]=u'\,v+u\,v'. No nosso caso u=x e v=y(x).
  • Regra da cadeia: se temos \sin(g(x)), então \dfrac{d}{dx}\sin(g(x))=\cos(g(x))\cdot g'(x). Aqui g(x)=x+y(x), então g'(x)=1+\dfrac{dy}{dx}.
  • Derivada de x é 1.
Agora diferenciamos ambos os lados da equação em relação a x, tratando y como função de x (ou seja, y=y(x)):
\frac{d}{dx}\big(xy\big)+\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(x+y)\big)=\frac{d}{dx}(x).
Aplicando as regras:
  • \dfrac{d}{dx}(x y)=x\cdot \dfrac{dy}{dx}+y\cdot 1 = x y' + y.
  • \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(x+y)\big)=\cos(x+y)\cdot(1+y').
  • \dfrac{d}{dx}(x)=1.
Portanto obtemos a equação
x y' + y + \cos(x+y)\,(1+y') = 1.

Passo 4

Isolamos y'. Agrupando os termos com y':
x y' + \cos(x+y)\,y' + y + \cos(x+y) = 1.
Colocando y' em evidência:
y'\big(x+\cos(x+y)\big) + y + \cos(x+y) = 1.
Logo
y'=\frac{1 - y - \cos(x+y)}{x + \cos(x+y)}.

Passo 5

Agora avaliamos essa expressão no ponto (0,\pi). Calculamos primeiro \cos(x+y) em (0,\pi):
x+y = 0+\pi=\pi,\qquad \cos(\pi)=-1.
Substituindo em \,y'=\dfrac{1 - y - \cos(x+y)}{x + \cos(x+y)}:
y'(0)=\frac{1 - \pi - (-1)}{0 + (-1)}=\frac{1 - \pi + 1}{-1}=\frac{2-\pi}{-1}=\pi-2.

Resposta

c. \pi-2

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