Considere a curva definida pela equação
. Determine a inclinação da reta tangente a esta curva no ponto de coordenadas
.
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ C.
◯ d. 0
◯ e.
◯ a.
◯ b.
◯ C.
◯ d. 0
◯ e.
Passo 1
O enunciado dá a curva definida implicitamente pela equação
e pede a inclinação da reta tangente a essa curva no ponto de coordenadas
.
Informações relevantes fornecidas:
- Equação da curva:
. - Ponto onde queremos a inclinação:
. - O que é pedido: o valor de
(a inclinação) naquele ponto.
Passo 2
Primeiro vamos verificar que o ponto
realmente pertence à curva (sempre bom checar antes de derivar). Substituindo
e
na equação:
Como
, a igualdade fica
, que é verdadeira. Portanto o ponto está na curva.
Passo 3
Vamos obter uma fórmula para
por diferenciação implícita. Explicando as regras que vamos usar:
- Regra do produto: se
e são funções, . No nosso caso e . - Regra da cadeia: se temos
, então . Aqui , então . - Derivada de
é .
Agora diferenciamos ambos os lados da equação em relação a
, tratando
como função de
(ou seja,
):
Aplicando as regras:
-
. -
. -
.
Portanto obtemos a equação
Passo 4
Isolamos
. Agrupando os termos com
:
Colocando
em evidência:
Logo
Passo 5
Agora avaliamos essa expressão no ponto
. Calculamos primeiro
em
:
Substituindo em
:
Resposta
c.