Use a regra de LHôpital para encontrar os limites e justifique sua resposta:
(1,0 ponto) lim x e^+ ln (x)^1x-e.

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto e^+ (ln(x))^1/(x-e) usando a regra de L’Hôpital. O conteúdo envolve limites de funções na forma f(x)^g(x), para isso vamos precisar reescrever a expressão como uma exponencial e depois aplicar L’Hôpital no logaritmo dessa exponencial.

Passo 2

Define-se y=(ln(x))^1/(x-e) e toma-se o logaritmo natural de ambos os lados para simplificar a forma exponencial. Assim temos:
ln(y)=1x-e,lnl(ln(x)r)

Passo 3

Observa-se que, quando xto e^+, o numerador ln(ln(x))toln(1)=0 e o denominador x-eto0, gerando a indeterminação 0/0. Aplicamos então a regra de L’Hôpital diferenciando numerador e denominador:
Para o numerador,
ddxl[ln(ln(x))r]=1ln(x)cdot1x=1x,ln(x);
para o denominador,
ddx[x-e]=1
Logo,
limxto e^+ln(y)=limxto e^+1/(x,ln(x))1=1e,ln(e)=1e

Passo 4

Como ln(y)to1/e, concluímos que
yto e^1/e
Portanto, o limite original é e^1/e.

Resposta

e^1e

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