Determine o maior conjunto real no qual f é contínua. Justifique.
Passo 1
O enunciado define a função
f(x)= 2x^2-3x+sin(pi x),&se x<=1, 2x+b^2,&se x>1,
e pede o maior conjunto real em que f é contínua. Vamos usar que soma de polinômios e sin é contínua onde estão definidos e depois checar a continuidade em x=1.
Passo 2
No ramo x<=1 temos
2x^2-3x+sin(pi x),
que é soma de funções contínuas em todo R, logo contínua em (-infty,1]. No ramo x>1 a função
2x+b^2
é polinomial em x e, portanto, contínua em (1,infty).
Passo 3
Para testar continuidade em x=1 calculamos os limites laterais e o valor em 1:
f(1^-)=2cdot1^2-3cdot1+sin(picdot1)=2-3+0=-1,
f(1)=2cdot1^2-3cdot1+sin(picdot1)=-1,
f(1^+)=2cdot1+b^2=2+b^2
Para ter continuidade em x=1 precisamos f(1^-)=f(1^+), ou seja
-1=2+b^2Longrightarrow b^2=-3,
o que não admite solução real para b.
Passo 4
Como não existe bin R que iguale os limites em x=1, a função é descontínua em x=1 e contínua em todo restante de R.