Considere a função f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & \text { se }-\pi \leq x \leq 0 \\\ \text { sen } x, & \text { se } 0<x \leq \pi\end{array}\right.. Calcule \int_{-\pi}^{\pi} f(x) d x.

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes
f(x)= \begin{cases} x, & -\pi \le x \le 0,\\\ \sin x, & 0< x \le \pi, \end{cases}
e pede a integral definida \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx. O conteúdo aqui é a propriedade de additividade da integral e o uso do Teorema Fundamental do Cálculo para cada trecho.

Passo 2

Vamos quebrar a integral no ponto em que a função muda de expressão, isto é em x=0:
\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx =\int_{-\pi}^{0}x\,dx +\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx.

Passo 3

Calcular \displaystyle \int_{-\pi}^{0}x\,dx. Como
\int x\,dx = \frac{x^2}{2},
temos
\int_{-\pi}^{0}x\,dx =\left.\frac{x^2}{2}\right|_{-\pi}^{0} =0-\frac{(-\pi)^2}{2} =-\frac{\pi^2}{2}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin x\,dx. Como
\int \sin x\,dx = -\cos x,
temos
\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx =\left.-\cos x\right|_{0}^{\pi} =\bigl(-\cos\pi\bigr)-\bigl(-\cos0\bigr) =( -(-1)) -(-1) =2.

Passo 5

Somando os resultados dos dois trechos, obtemos
\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx =-\frac{\pi^2}{2}+2.

Resposta

-\frac{\pi^2}{2}+2.

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