Estime o valor dos seguintes números:
Calcule, usando a diferencial, o valor aproximado de:
(1,97)^{6}

Passo 1

O enunciado pede para estimar o valor de (1,97)^{6} usando a diferencial. O conteúdo aqui é aproximação de funções por expansão linear (diferencial). Vamos precisar da função f(x)=x^{6}, da sua derivada e de um ponto x_{0} próximo de 1,97 onde saibamos avaliar f e f' exatamente.

Passo 2

Escolhemos x_{0}=2, pois é próximo de 1,97 e faz f(2) fácil de calcular. Definimos
f(x)=x^{6},\qquad f'(x)=6x^{5},
e o incremento
\Delta x = 1,97 - 2 = -0,03.

Passo 3

Calculamos f e f' em x_{0}=2:
f(2)=2^{6}=64,
f'(2)=6\cdot 2^{5}=6\cdot 32=192.

Passo 4

Pela fórmula da diferencial (aproximação linear),
f(2+\Delta x)\approx f(2)+f'(2)\,\Delta x.
Substituindo os valores:
(1,97)^{6} \approx 64 + 192 \times (-0,03) =64 - 5,76 =58,24.

Resposta

O valor aproximado de (1,97)^{6} usando diferencial é 58,24.

Exercícios relacionados