Considere a função
A função
é derivável em
?
A função
Passo 1
A questão dá a função por partes
quer saber se ela é derivável em
. O conteúdo aqui é derivabilidade de função definida por partes: precisamos checar continuidade em
e verificar se as derivadas laterais existem e coincidem.
Passo 2
Primeiro garantimos que
seja contínua em
, pois derivabilidade implica continuidade. Calculamos o limite à esquerda:
e o limite à direita:
Como
, temos
, ou seja,
é contínua em
.
Passo 3
Agora calculamos a derivada lateral à esquerda usando a regra de derivação de funções lineares. Para
,
tem derivada
Passo 4
Em seguida, calculamos a derivada lateral à direita. Para
,
tem derivada
Passo 5
Como as derivadas laterais não coincidem (
e
), concluímos que não existe derivada de
em
.
Resposta
Não, a função não é derivável em x=3.