Considere a função
A função f(x)=ll-x+3 & se x<3 2 x-6 & se x >= 3 é derivável em f?

Passo 1

A questão dá a função por partes
f(x)=-x+3,&x<3,2x-6,&x>=3,
quer saber se ela é derivável em x=3. O conteúdo aqui é derivabilidade de função definida por partes: precisamos checar continuidade em x=3 e verificar se as derivadas laterais existem e coincidem.

Passo 2

Primeiro garantimos que f seja contínua em x=3, pois derivabilidade implica continuidade. Calculamos o limite à esquerda:
limxto3^-f(x)=limxto3^-(-x+3)=-3+3=0,
e o limite à direita:
limxto3^+f(x)=limxto3^+(2x-6)=2cdot3-6=0
Como f(3)=2cdot3-6=0, temos limxto3f(x)=f(3)=0, ou seja, f é contínua em x=3.

Passo 3

Agora calculamos a derivada lateral à esquerda usando a regra de derivação de funções lineares. Para x<3, f(x)=-x+3 tem derivada
f'-(3)=ddx(-x+3)=-1

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada lateral à direita. Para x>3, f(x)=2x-6 tem derivada
f'+(3)=ddx(2x-6)=2

Passo 5

Como as derivadas laterais não coincidem ( f'-(3)=-1 e f'+(3)=2), concluímos que não existe derivada de f em x=3.

Resposta

Não, a função não é derivável em x=3.

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