Utilizando o método da variação dos parâmetros, determine a solução geral da EDO dada.
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem
usando o método da variação de parâmetros. Isso é uma equação linear não homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar: encontrar a solução geral da homogênea (e, com ela, duas soluções fundamentais
), calcular o Wronskiano
, usar as fórmulas de variação de parâmetros para obter
e
, integrar para achar
e montar a solução particular, depois somar à homogênea.
Passo 2
Começamos pela homogênea associada. A equação característica de
é
Logo há raiz dupla
, e duas soluções fundamentais são
Passo 3
Agora calculamos o Wronskiano de
:
Passo 4
Usamos as fórmulas de variação de parâmetros. Chamando o termo não homogêneo de
, temos
Passo 5
Integramos para obter
:
Fazendo integração por partes com
, obtemos
E
Passo 6
A solução particular é
Substituindo:
Agrupando termos, fica
Passo 7
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular. Assim:
Resposta
y(x) = C_1e^{-x} + C_2x e^{-x} + \frac{x^2}{2}\ln x,e^{-x} - \frac{3x2}{4},e{-x}