Utilizando o método da variação dos parâmetros, determine a solução geral da EDO dada.
y^prime prime+2 y^prime+y=e^-x ln x;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem
y'' + 2y' + y = e^-xln x
usando o método da variação de parâmetros. Isso é uma equação linear não homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar: encontrar a solução geral da homogênea (e, com ela, duas soluções fundamentais y1,y2), calcular o Wronskiano W, usar as fórmulas de variação de parâmetros para obter u1' e u2', integrar para achar u1,u2 e montar a solução particular, depois somar à homogênea.

Passo 2

Começamos pela homogênea associada. A equação característica de
y'' + 2y' + y = 0
é
r^2 + 2r + 1 = 0 ,Longrightarrow, (r+1)^2 = 0
Logo há raiz dupla r=-1, e duas soluções fundamentais são
y1 = e^-x,
y2 = x e^-x

Passo 3

Agora calculamos o Wronskiano de y1,y2:

Passo 4

Usamos as fórmulas de variação de parâmetros. Chamando o termo não homogêneo de g(x)=e^-xln x, temos
u1' = -g(x),y2W = -e^-xln xcdot x e^-xe^-2x = -xln x,
u2' = g(x),y1W = e^-xln xcdot e^-xe^-2x = ln x

Passo 5

Integramos para obter u1,u2:
u1 = integral -xln x,dx
Fazendo integração por partes com A=ln x,,dB = x,dx, obtemos
u1 = -l(x^22ln x - x^24r) = x^24 - x^22ln x
E
u2 = integral ln x,dx = xln x - x

Passo 6

A solução particular é
yp = u1,y1 + u2,y2
Substituindo:
yp = l(x^24 - x^22ln xr)e^-x + (xln x - x),x e^-x
Agrupando termos, fica
yp = x^22ln x,e^-x - 3x^24,e^-x

Passo 7

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular. Assim:
y(x) = C1e^-x + C2x e^-x + x^22ln x,e^-x - 3x^24,e^-x

Resposta

y(x) = C_1e^{-x} + C_2x e^{-x} + \frac{x^2}{2}\ln x,e^{-x} - \frac{3x2}{4},e{-x}

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