Problema 6 Determine a curvatura de y=ln (cos (x)),-pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede para achar a curvatura da curva definida por y=ln(cos(x)) no intervalo (-π/2,π/2). O conteúdo que vamos usar é a fórmula da curvatura para gráficas y=f(x), que exige calcular y’ e y’’ e depois aplicar kappa(x)=dfrac|y''|(1+(y')^2)^3/2.

Passo 2

Primeiro calculemos a derivada primeira da função. Como y=ln(cos x), pela regra da cadeia temos:
y' = ddxl(ln(cos x)r) = 1cos x cdot ( -sin x ) = -tan x

Passo 3

Agora vamos à derivada segunda. Derivando y'=-tan x usando que dfracddx(tan x)=sec^2 x:
y'' = -ddx(tan x) = -sec^2 x

Passo 4

Com essas derivadas, substituímos na fórmula da curvatura:
kappa(x)=|y''|l(1+(y')^2r)^3/2 = |-sec^2 x|l(1+tan^2 xr)^3/2

Passo 5

Sabendo que 1+tan^2 x=sec^2 x e que para -pi/2 temos sec x>0, simplificamos:
kappa(x)=sec^2 x(sec^2 x)^3/2 = sec^2 xsec^3 x = 1sec x = cos x

Resposta

A curvatura é kappa(x)=cos x.

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