Nos Exercícios de 1 a 52, efetue a antidiferenciação.
integral x d x(x^2+1)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x , dx(x^2+1)^3. Aqui estamos trabalhando com antidiferenciação, que é o processo de encontrar a função original a partir de sua derivada. Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de substituição, que é muito útil quando a integral tem uma parte que é a derivada de outra parte.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar u = x^2 + 1. Isso é útil porque o denominador da nossa fração é exatamente essa expressão elevada ao cubo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du, que é a derivada de u em relação a x. Calculando:
du = ddx(x^2 + 1) , dx = 2x , dx
Note que 2x , dx aparece na expressão de du. Queremos expressar x , dx em termos de du:
x , dx = du2

Passo 4

Vamos substituir u e x , dx na integral original:
integral x , dx(x^2+1)^3 = integral du2u^3 = 12 integral u^-3 , du

Passo 5

Agora, resolvemos a integral de u^-3:
integral u^-3 , du = u^-2-2 + C = -12u^2 + C
Multiplicando pelo 12 que estava na frente:
12 (-12u^2) = -14u^2 + C

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta para expressar a resposta em termos de x:
-14u^2 + C = -14(x^2 + 1)^2 + C

Resposta

A integral vale -dfrac14(x^2 + 1)^2 + C.

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