Considere a função f(x)=llx^2 sen(1x), & se x neq 0 0, & se x=0. Encontre f^prime prime(x). Ela existe para cada x in R ? f^prime prime é contínua em R ?

Passo 1

O enunciado dá uma função em partes
f(x)=x^2sinl(1/xr),&xneq00,&x=0
Precisamos achar a segunda derivada, investigar onde ela existe e se é contínua. Vamos usar regras de derivação (produto e cadeia) e definição de derivada em um ponto.

Passo 2

Para xneq0, calculamos primeiro f'(x) usando a regra do produto em
f(x)=x^2;sinl(1/xr):
Aplicando, temos
$$
f'(x)&=2xsinl(1/xr)+x^2cdotcosl(1/xr)cdotl(-1/x^2r) &=2xsinl(1/xr)-cosl(1/xr)
$$

Passo 3

Ainda para xneq0, derivamos f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x). Usando produto, cadeia e soma,
f''(x)&=ddx[2xsin(1/x)]-ddx[cos(1/x)] &=l(2sin(1/x)+2xcos(1/x)cdot(-1/x^2)r)-l(-sin(1/x)cdot(-1/x^2)r) &=2sinl(1/xr)-2cosl(1/xr)x-sinl(1/xr)x^2

Passo 4

Para verificar se existe f'(0), usamos o limite
f'(0)=limxto0f(x)-f(0)x=limxto0x^2sin(1/x)x=limxto0xsin(1/x)=0
Logo f' existe em zero e vale f'(0)=0.

Passo 5

Agora para f''(0) precisamos do limite
limxto0f'(x)-f'(0)x=limxto02xsin(1/x)-cos(1/x)x =limxto0l(2sin(1/x)-cos(1/x)xr)
Esse limite não existe (o termo cos(1/x)/x diverge oscilando). Logo f''(0) não existe.

Passo 6

Concluímos que f''(x) existe para todo xneq0 e é dada pela fórmula acima, mas não existe em x=0. Assim f'' é contínua em Rsetminus0 e não está definida (portanto não é contínua) em x=0.

Resposta

Para x\neq0:
$$f’’(x)=2\sin\bigl(1/x\bigr)-\frac{2\cos\bigl(1/x\bigr)}{x}-\frac{\sin\bigl(1/x\bigr)}{x^2}.
$$
Em x=0, f’’(0) não existe. Logo f’’ existe apenas em f''(x)=2sinl(1/xr)-2cosl(1/xr)x-sinl(1/xr)x^2 e não é contínua em 0.

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