Considere a função
. Encontre
. Ela existe para cada
é contínua em
?
Passo 1
O enunciado dá uma função em partes
Precisamos achar a segunda derivada, investigar onde ela existe e se é contínua. Vamos usar regras de derivação (produto e cadeia) e definição de derivada em um ponto.
Passo 2
Para
, calculamos primeiro
usando a regra do produto em
Aplicando, temos
$$
$$
Passo 3
Ainda para
, derivamos
. Usando produto, cadeia e soma,
Passo 4
Para verificar se existe
, usamos o limite
Logo
existe em zero e vale
.
Passo 5
Agora para
precisamos do limite
Esse limite não existe (o termo
diverge oscilando). Logo
não existe.
Passo 6
Concluímos que
existe para todo
e é dada pela fórmula acima, mas não existe em
. Assim
é contínua em
e não está definida (portanto não é contínua) em
.
Resposta
Para x\neq0:
$$f’’(x)=2\sin\bigl(1/x\bigr)-\frac{2\cos\bigl(1/x\bigr)}{x}-\frac{\sin\bigl(1/x\bigr)}{x^2}.
$$
Em x=0, f’’(0) não existe. Logo f’’ existe apenas em e não é contínua em 0.
Em x=0, f’’(0) não existe. Logo f’’ existe apenas em