(4,0 pontos) Encontre a derivada parcial da função em relação a cada variável.
f(x, y)=(x^3+y2)^2 / 3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de f(x,y)= (x^3+tfrac y2)^2/3. O conteúdo aqui é derivada parcial, e vamos usar a regra da cadeia para potência fracionária composta com g(x,y)=x^3+\tfrac y2.

Passo 2

Para partial f/partial x, considere y constante. Defina g(x,y)=x^3+tfrac y2, assim f=g^2/3. Pela regra da cadeia: partial f/partial x=(2/3)g^-1/3cdotpartial g/partial x. Como partial g/partial x=3x^2, temos:
partial fpartial x=23,(x^3+tfrac y2)^-1/3,l(3x^2r)=2x^2,(x^3+tfrac y2)^-1/3

Passo 3

Para partial f/partial y, considere x constante. Mesma ideia:
partial fpartial y=23,(x^3+tfrac y2)^-1/3,partialpartial yl(x^3+tfrac y2r)=23,(x^3+tfrac y2)^-1/3,12=13,(x^3+tfrac y2)^-1/3

Resposta

partial fpartial x=2x^2,(x^3+tfrac y2)^-1/3, partial fpartial y=13,(x^3+tfrac y2)^-1/3

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