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Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis em um ponto, que cai na situação de limite de forma indeterminada 0/0. Isso é conteúdo de limites em várias variáveis, e vamos precisar verificar se a substituição direta funciona e, em caso de indeterminação, estudar dependência de caminho.
Passo 2
Vamos tentar a substituição direta no numerador e no denominador. O numerador é 2x(y-2) e, em (x,y)→(0,2), ele vale 2·0·0=0. O denominador é 3x²+y²−4y+4; substituindo (0,2) temos 3·0+(2)²−4·2+4=4−8+4=0. Então deu 0/0, ou seja, indeterminado.
Passo 3
Para esclarecer o tipo de indeterminação, fatoramos o denominador. Note que y²−4y+4=(y−2)², então
Passo 4
Uma técnica clássica é analisar caminhos de aproximação. Vamos usar a reta y−2=kx, ou seja y=2+kx. Substituindo na expressão original obtemos
Passo 5
que depende do parâmetro k (o coeficiente angular do caminho). Como isso varia com k, o valor do limite muda conforme a trajetória de chegada ao ponto.
Passo 6
Como o resultado depende de k, não há um valor único para o limite quando (x,y)→(0,2).
Resposta
O limite não existe, pois o valor depende do caminho de aproximação.