(a) lim (x, y) (0,2) 2 x(y-2)3 x^2+y^2-4 y+4

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis em um ponto, que cai na situação de limite de forma indeterminada 0/0. Isso é conteúdo de limites em várias variáveis, e vamos precisar verificar se a substituição direta funciona e, em caso de indeterminação, estudar dependência de caminho.

Passo 2

Vamos tentar a substituição direta no numerador e no denominador. O numerador é 2x(y-2) e, em (x,y)→(0,2), ele vale 2·0·0=0. O denominador é 3x²+y²−4y+4; substituindo (0,2) temos 3·0+(2)²−4·2+4=4−8+4=0. Então deu 0/0, ou seja, indeterminado.

Passo 3

Para esclarecer o tipo de indeterminação, fatoramos o denominador. Note que y²−4y+4=(y−2)², então
3x^2+y^2-4y+4=3x^2+(y-2)^2

Passo 4

Uma técnica clássica é analisar caminhos de aproximação. Vamos usar a reta y−2=kx, ou seja y=2+kx. Substituindo na expressão original obtemos
2x(y-2)3x^2+(y-2)^2=2xcdot(kx)3x^2+(kx)^2=2k,x^2(3+k^2)x^2=2k3+k^2,

Passo 5

que depende do parâmetro k (o coeficiente angular do caminho). Como isso varia com k, o valor do limite muda conforme a trajetória de chegada ao ponto.

Passo 6

Como o resultado depende de k, não há um valor único para o limite quando (x,y)→(0,2).

Resposta

O limite não existe, pois o valor depende do caminho de aproximação.

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