Considere a função f(x)=ln |x+2x-2|:
restrinja (se for necessário) domínio e contradomínio, para obter uma nova função (definida pela mesma lei) que seja invertível;

Passo 1

O enunciado nos apresenta a função $ f(x) = \ln \left| \frac{x + 2}{x - 2} \right| $. Nosso objetivo aqui é trabalhar com funções e invertibilidade. Vamos precisar restringir o domínio e o contradomínio dessa função para que ela seja invertível.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função $ f(x) $. Como temos um logaritmo natural, o argumento dele precisa ser positivo. Então, precisamos resolver a inequação:
f(x)

Passo 3

Para resolver $ \frac{x + 2}{x - 2} > 0 $, vamos identificar os pontos onde a expressão muda de sinal. Os pontos críticos são $ x = -2 $ e $ x = 2 $. Vamos analisar os intervalos formados por esses pontos.

Passo 4

Vamos testar cada intervalo:
  • Intervalo 1: $ x < -2 $
    • Numerador: $ x + 2 < 0 $
    • Denominador: $ x - 2 < 0 $
    • Resultado: x < -2
  • Intervalo 2: $ -2 < x < 2 $
    • Numerador: $ x + 2 > 0 $
    • Denominador: $ x - 2 < 0 $
    • Resultado: x + 2 < 0
  • Intervalo 3: $ x > 2 $
    • Numerador: $ x + 2 > 0 $
    • Denominador: $ x - 2 > 0 $
    • Resultado: x - 2 < 0

Passo 5

Assim, a função está definida nos intervalos onde $ \frac{x + 2}{x - 2} > 0 $, ou seja:
x + 2x - 2 > 0

Passo 6

Agora, precisamos verificar se a função é injetora (um para um) em cada um desses intervalos. Para isso, vamos analisar a derivada de $ f(x) $:
f(x)

Passo 7

Analisando $ f’(x) $:
  • Para $ x < -2 $: $ (x + 2)(x - 2) > 0 $ (porque dois negativos dão positivo), então $ f’(x) < 0 $
  • Para $ x > 2 $: $ (x + 2)(x - 2) > 0 $ (porque dois positivos dão positivo), então $ f’(x) < 0 $
Isso mostra que a função é estritamente decrescente em ambos os intervalos.

Passo 8

Como a função é estritamente decrescente em cada intervalo do domínio, ela é injetora em cada um deles. Portanto, podemos restringir o domínio a um desses intervalos para garantir que a função seja invertível.

Passo 9

Vamos escolher restringir o domínio a $ x > 2 $. Assim, a função fica:
x > 2
Note que não precisamos mais do valor absoluto, pois $ \frac{x + 2}{x - 2} $ é sempre positivo nesse intervalo.

Passo 10

Com o domínio restrito a $ x > 2 $, a função $ f(x) $ é invertível, pois é estritamente decrescente e, portanto, um para um.

Resposta

A função $ f(x) = \ln \left( \frac{x + 2}{x - 2} \right) $, com domínio restrito a $ x > 2 $, é invertível.

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