Considere a função
:
restrinja (se for necessário) domínio e contradomínio, para obter uma nova função (definida pela mesma lei) que seja invertível;
restrinja (se for necessário) domínio e contradomínio, para obter uma nova função (definida pela mesma lei) que seja invertível;
Passo 1
O enunciado nos apresenta a função $ f(x) = \ln \left| \frac{x + 2}{x - 2} \right| $. Nosso objetivo aqui é trabalhar com funções e invertibilidade. Vamos precisar restringir o domínio e o contradomínio dessa função para que ela seja invertível.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função $ f(x) $. Como temos um logaritmo natural, o argumento dele precisa ser positivo. Então, precisamos resolver a inequação:
Passo 3
Para resolver $ \frac{x + 2}{x - 2} > 0 $, vamos identificar os pontos onde a expressão muda de sinal. Os pontos críticos são $ x = -2 $ e $ x = 2 $. Vamos analisar os intervalos formados por esses pontos.
Passo 4
Vamos testar cada intervalo:
-
Intervalo 1: $ x < -2 $
- Numerador: $ x + 2 < 0 $
- Denominador: $ x - 2 < 0 $
- Resultado:
-
Intervalo 2: $ -2 < x < 2 $
- Numerador: $ x + 2 > 0 $
- Denominador: $ x - 2 < 0 $
- Resultado:
-
Intervalo 3: $ x > 2 $
- Numerador: $ x + 2 > 0 $
- Denominador: $ x - 2 > 0 $
- Resultado:
Passo 5
Assim, a função está definida nos intervalos onde $ \frac{x + 2}{x - 2} > 0 $, ou seja:
Passo 6
Agora, precisamos verificar se a função é injetora (um para um) em cada um desses intervalos. Para isso, vamos analisar a derivada de $ f(x) $:
Passo 7
Analisando $ f’(x) $:
- Para $ x < -2 $: $ (x + 2)(x - 2) > 0 $ (porque dois negativos dão positivo), então $ f’(x) < 0 $
- Para $ x > 2 $: $ (x + 2)(x - 2) > 0 $ (porque dois positivos dão positivo), então $ f’(x) < 0 $
Isso mostra que a função é estritamente decrescente em ambos os intervalos.
Passo 8
Como a função é estritamente decrescente em cada intervalo do domínio, ela é injetora em cada um deles. Portanto, podemos restringir o domínio a um desses intervalos para garantir que a função seja invertível.
Passo 9
Vamos escolher restringir o domínio a $ x > 2 $. Assim, a função fica:
Note que não precisamos mais do valor absoluto, pois $ \frac{x + 2}{x - 2} $ é sempre positivo nesse intervalo.
Passo 10
Com o domínio restrito a $ x > 2 $, a função $ f(x) $ é invertível, pois é estritamente decrescente e, portanto, um para um.
Resposta
A função $ f(x) = \ln \left( \frac{x + 2}{x - 2} \right) $, com domínio restrito a $ x > 2 $, é invertível.