Utilize o método da substituição para calcular as integrais indefinidas abaixo.
integral y^2(4-y^3)^2 / 3 d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral y^2,(4 - y^3)^2/3,dy usando o método da substituição. O conteúdo aqui é integração por substituição, e vamos precisar conectar y^2,dy a algo que surja ao derivar (4 - y^3).

Passo 2

Vamos definir a substituição adequada. Seja u = 4 - y^3. Então
dudy = -3y^2 Longrightarrow y^2,dy = -tfrac13,du
Agora reescrevemos a integral em termos de u:
integral y^2,(4 - y^3)^2/3,dy = -tfrac13integral u^2/3,du
Para integrar usamos integral u^ndu = u^n+1/(n+1) + C.

Passo 3

Fazendo a integração em u:
-tfrac13integral u^2/3,du = -tfrac13cdotu^5/35/3 + C = -tfrac15,u^5/3 + C
Por fim, voltamos à variável y substituindo u = 4 - y^3. Assim obtemos a primitiva desejada.

Resposta

-\tfrac{1}{5},(4 - y{3}){5/3} + C

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