Considere a função f(x)=ln (x^2+1).
a) Qual é o domínio de f ?
b) Qual é a equação da reta tangente ao gráfico de f, no ponto de abscissa -1 ? E no ponto de abscissa 0 ?

Passo 1

O enunciado pede o domínio de f(x)=ln(x^2+1) e as equações das retas tangentes ao gráfico de f nos pontos de abscissa -1 e 0. Vamos (i) achar o domínio exigindo que o argumento do log seja positivo, (ii) derivar f para obter f'(x) e (iii) usar a fórmula da reta tangente
y - f(a) = f'(a),(x - a)

Passo 2

Determinar o domínio de f. Precisa valer
x^2+1>0
Como x^2>=0 implica x^2+1>=1>0 para todo xinR, o domínio é
R

Passo 3

Calcular a derivada de f:
f'(x) = ddxln(x^2+1) = 1x^2+1cdot 2x = 2xx^2+1

Passo 4

Reta tangente em x=-1. Primeiro
f(-1)=lnl((-1)^2+1r)=ln2, f'(-1)=2cdot(-1)(-1)^2+1=-1
Substituindo em y - f(-1)=f'(-1)(x+1), obtemos
y - ln2 = -1,(x+1) Longrightarrow y = -x + (ln2 -1)

Passo 5

Reta tangente em x=0. Primeiro
f(0)=ln(0^2+1)=0, f'(0)=2cdot00^2+1=0
Logo, de y - f(0)=f'(0)(x-0) segue
y = 0

Resposta

a) O domínio de f é R.
b) No ponto de abscissa -1, a reta tangente é
y = -x + (ln2 -1)
No ponto de abscissa 0, a reta tangente é
y = 0

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