(1 ponto) Encontre os valores de b tais que o valor médio de f(x)=5+6 x-3 x^2 no intervalo [0, b] é igual a 1.
Solução: Temos que:
fm e d=1b-0 integral0^b f(x) d x
Pelos dados do problema temos:
f med =1b integral0^b(5+6 x-3 x^2) d x Rightarrow 1=1b[5 x+3 x^2-x^3]0^b f med =1 Rightarrow 1=5+3 b-b^2 Rightarrow b^2-3 b-4=0
Resolvendo a equação quadrática:
b^2-3 b-1=0 Leftrightarrow b= & 3 pm raiz(-3)^2-4 cdot 1 cdot(-4)2 cdot 1 Leftrightarrow b=3 pm 52 & Leftrightarrowc b=4 b=-1
Como b>0, segue que a resposta é então b=4.

Passo 1

O enunciado pede os valores de b tais que o valor médio de
f(x)=5+6x-3x^2
no intervalo [0,b] seja igual a 1. Para isso vamos usar a definição de valor médio de uma função contínua em [0,b]:
fmed=1b-0integral0^bf(x),dx

Passo 2

Primeiro calculamos a integral de f(x) de 0 até b. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
integral0^bl(5+6x-3x^2r),dx =l[5x+3x^2 -x^3r]0^b =5b+3b^2-b^3

Passo 3

Substituindo no valor médio e igualando a 1:
1=1bl(5b+3b^2-b^3r) Longrightarrow 5b+3b^2-b^3 = b
Reorganizando todos os termos num só polinômio:
-b^3+3b^2+4b=0 Longrightarrow b,(b^2-3b-4)=0

Passo 4

A raiz b=0 não interessa (o intervalo seria trivial), então resolvemos
b^2-3b-4=0
pela fórmula de Bhaskara:
b=3pmraiz9+162 =3pm52,
o que dá b=4 ou b=-1. Como queremos b>0, ficamos com
b=4

Resposta

b=4.

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