Dados
e
quaisquer, suponhamos que
com
, define um produto interno em
sobre o corpo
.
(a)
Defina produto interno em um espaço vetorial
sobre um corpo
.
(b)
Mostre que
, para qualquer
.
(c)
Mostre que
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado considera a forma bilinear
em
e pede (a) a definição de produto interno, (b) comprovar que a simetria força
e (c) usar positividade para ver que
.
Passo 2
Um produto interno em um espaço vetorial
sobre o corpo
é uma aplicação
que satisfaz, para todos
e
:
Passo 3
Pela simetria temos
Como isso vale para quaisquer
, os coeficientes coincidem, ou seja
Passo 4
Escolhendo o vetor canônico
cujo
-ésimo componente vale 1 e as demais valem 0, a positividade dá
pois
. Logo cada
é estritamente positivo.
Resposta
(a) Um produto interno em
sobre
é uma forma bilinear simétrica e definida-positiva, isto é,
satisfazendo
,
e
para
.
(b) .
(c) .
(b)
(c)