Dados u=(u1, u2, cdots, un) in R^n e v=(v1, v2, cdots, vn) in R^n quaisquer, suponhamos que ll u, v gg=sumi, j=1^n ai j ui vj com ai j in R, 1 <= i, j <= n, define um produto interno em R^n sobre o corpo R.
(a) (0,2) Defina produto interno em um espaço vetorial V sobre um corpo F.
(b) (0,3) Mostre que ai j=aj i, para qualquer 1 <= i, j <= n.
(c) (0,3) Mostre que ai i>0,1 <= i <= n.

Passo 1

O enunciado considera a forma bilinear
lang<= u,vrang<= = sumi,j=1^naij,ui,vj
em R^n e pede (a) a definição de produto interno, (b) comprovar que a simetria força aij=aji e (c) usar positividade para ver que aii>0.

Passo 2

Um produto interno em um espaço vetorial V sobre o corpo F é uma aplicação
lang<= cdot,cdotrang<= : Vtimes V to F
que satisfaz, para todos v,w,xin V e alpha,betain F:
&(i) Simetria: &lang<= v,wrang<= &= lang<= w,vrang<=, &(ii) Bilinearidade:&lang<= alpha v+beta w,,xrang<= &= alphalang<= v,xrang<= + betalang<= w,xrang<=, &(iii) Positividade:&lang<= v,vrang<= &>0se vneq0

Passo 3

Pela simetria temos
lang<= u,vrang<= = lang<= v,urang<= ;Longrightarrow; sumi,j=1^naij,ui,vj = sumi,j=1^naji,ui,vj
Como isso vale para quaisquer ui,vj, os coeficientes coincidem, ou seja
aij=aji forall,i,j

Passo 4

Escolhendo o vetor canônico ei cujo i-ésimo componente vale 1 e as demais valem 0, a positividade dá
lang<= ei,eirang<= = aii > 0,
pois eineq0. Logo cada aii é estritamente positivo.

Resposta

(a) Um produto interno em V sobre F é uma forma bilinear simétrica e definida-positiva, isto é,
lang<=cdot,cdotrang<=:Vtimes Vto F
satisfazendo
lang<= v,wrang<==lang<= w,vrang<=,
lang<= alpha v+beta w,xrang<==alphalang<= v,xrang<=+betalang<= w,xrang<= e
lang<= v,vrang<=>0 para vneq0.
(b) aij=aji.
(c) aii>0.

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