(1 ponto) Se f for uma função contínua tal que
integral0^x f(t) d t=x e^2 x+integral0^x e^-t f(t) d t
para todo x, ache uma fórmula explícita para f(x). [Dica: use o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1)]
Solução: Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1): Se f for uma função contínua em [a, b], então a função g definida por
g(x)=integrala^x f(t) d t a <= x <= b
é contínua em [a, b] e diferenciável em (a, b) e g^prime(x)=f(x).
Logo, aplicando a diferenciação em ambos lados da equação dada, teremos:
dd x(integral0^x f(t) d t)=dd x(x e^2 x+integral0^x e^-t f(t) d t) dd x(integral0^x f(t) d t)=dd x(x e^2 x)+dd x(integral0^x e^-t f(t) d t) Rightarrow f(x)=e^2 x+2 x e^2 x+e^-x f(x) Rightarrow f(x)(1-e^-x)=e^2 x+2 x e^2 x f(x)=e^2 x(1+2 x)1-e^-x

Passo 1

O enunciado dá uma função contínua f satisfazendo, para todo x>=0,
integral0^x f(t),dt ;=; x e^2x ;+;integral0^x e^-tf(t),dt,
e pede uma fórmula explícita para f(x). Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1) junto com a regra de diferenciação de uma integral em que o limite superior é variável.

Passo 2

Aplicamos ddx em ambos os lados da igualdade. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
ddxl(integral0^x f(t),dtr)=f(x)
No lado direito, diferenciamos termo a termo:
ddxl(xe^2xr)=e^2x+2x e^2x, ddxl(integral0^x e^-tf(t),dtr)=e^-xf(x)

Passo 3

Reunindo as derivadas, obtemos
f(x) ;=; l(e^2x+2x e^2xr) ;+; e^-xf(x)
Isso é uma equação em f(x). Passamos o termo e^-xf(x) para o lado esquerdo:
f(x)l(1 - e^-xr) = e^2xl(1+2xr)

Passo 4

Basta isolar f(x). Como 1-e^-xneq0 para todo x>0, temos
f(x) =e^2x(1+2x)1 - e^-x

Resposta

f(x)=e^2x(1+2x)1 - e^-x

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