(1 ponto) Se
for uma função contínua tal que
para todo
, ache uma fórmula explícita para
. [Dica: use o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1)]
Solução: Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1): Se
for uma função contínua em
, então a função
definida por
é contínua em
e diferenciável em
e
.
Logo, aplicando a diferenciação em ambos lados da equação dada, teremos:
Logo, aplicando a diferenciação em ambos lados da equação dada, teremos:
Passo 1
O enunciado dá uma função contínua
satisfazendo, para todo
,
e pede uma fórmula explícita para
. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1) junto com a regra de diferenciação de uma integral em que o limite superior é variável.
Passo 2
Aplicamos
em ambos os lados da igualdade. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
No lado direito, diferenciamos termo a termo:
Passo 3
Reunindo as derivadas, obtemos
Isso é uma equação em
. Passamos o termo
para o lado esquerdo:
Passo 4
Basta isolar
. Como
para todo
, temos