Considere a função
f(x)=lr -3 x+1, & se x <= 1 1x-1, & se 14
Determine, caso exista(m), o(s) ponto(s) de descontinuidade da função f(x).

Passo 1

Temos a função definida por partes. Na região x<=1, f(x)=-3x+1; em 1, f(x)=1x-1; e em x>4, f(x)=2x^2+1. O conteúdo é continuidade de funções, e para resolver precisamos calcular limites laterais e comparar com o valor de f nos pontos críticos x=1 e x=4.

Passo 2

Dentro de cada intervalo aberto onde a regra vale para todos os x, a função é contínua: polinômios são contínuos em todo o domínio, e a função racional tfrac1x-1 é contínua em seu domínio xneq1. Logo, não há descontinuidade em (1,4), em (4,infty) e em .

Passo 3

Em x=1: calculamos o limite à esquerda:
limxto1^-(-3x+1)=-3cdot1+1=-2
O valor de f(1) vem da primeira parte e é -2. Já o limite à direita:
limxto1^+1x-1
diverge (tende a +infty ou -infty), ou seja, não existe finitamente. Como os limites laterais não coincidem, f é descontínua em x=1.

Passo 4

Em x=4: o limite à esquerda é
limxto4^-1x-1=14-1=13
O valor de f(4) na segunda parte é também 13. O limite à direita é
limxto4^+(2x^2+1)=2cdot4^2+1=33
Como o limite à direita (33) difere de f(4) ( tfrac13), há descontinuidade em x=4.

Resposta

Os pontos de descontinuidade da função são x=1 e x=4.

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