Use o teorema de Gauss para calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície fechada S fronteira do sólido
com normal
exterior a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Gauss para calcular o fluxo do campo vetorial $ \mathbf{F}(x, y, z) = \frac{x^{3}+z \cos y}{3} \mathbf{i} + \frac{y{3}+e{x z}}{3} \mathbf{j} + \frac{z^{3}}{3} \mathbf{k} $ através da superfície fechada $ S $, que é a fronteira do sólido $ W = {(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x{2}+y{2}+z^{2} \leq 4} $. Para isso, vamos precisar calcular a divergência do campo $ \mathbf{F} $ e depois integrar essa divergência no volume $ W $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência de $ \mathbf{F} = P \mathbf{i} + Q \mathbf{j} + R \mathbf{k} $ é dada por:
Então, vamos identificar $ P, Q $ e $ R $ no nosso campo:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada de $ P $ em relação a $ x $:
- Derivada de $ Q $ em relação a $ y $:
(Na verdade, a derivada de $ e^{x z} $ em relação a $ y $ é zero, já que não depende de $ y $.)
- Derivada de $ R $ em relação a $ z $:
Passo 4
Somando tudo, a divergência de $ \mathbf{F} $ é:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa divergência sobre o volume $ W $, que é uma esfera de raio 2. Em coordenadas esféricas, sabemos que:
E o volume integral em coordenadas esféricas fica:
Sabendo que o volume de uma esfera é:
Resolvendo cada integral:
Multiplicando tudo:
Resposta
O fluxo do campo vetorial $ \mathbf{F} $ através da superfície $ S $ é $ \frac{128\pi}{5} $.