Use o teorema de Gauss para calcular o fluxo do campo vetorial F(x, y, z)=x^3+z cos y3 i+y^3+e^x z3 j+z^33 k através da superfície fechada S fronteira do sólido W=(x, y, z) in R^3 / x^2+y^2+z^2 <= 4 com normal n exterior a W.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Gauss para calcular o fluxo do campo vetorial $ \mathbf{F}(x, y, z) = \frac{x^{3}+z \cos y}{3} \mathbf{i} + \frac{y{3}+e{x z}}{3} \mathbf{j} + \frac{z^{3}}{3} \mathbf{k} $ através da superfície fechada $ S $, que é a fronteira do sólido $ W = {(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x{2}+y{2}+z^{2} \leq 4} $. Para isso, vamos precisar calcular a divergência do campo $ \mathbf{F} $ e depois integrar essa divergência no volume $ W $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência de $ \mathbf{F} = P \mathbf{i} + Q \mathbf{j} + R \mathbf{k} $ é dada por:
F = P i + Q j + R k
Então, vamos identificar $ P, Q $ e $ R $ no nosso campo:
nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada de $ P $ em relação a $ x $:
P
  1. Derivada de $ Q $ em relação a $ y $:
x
(Na verdade, a derivada de $ e^{x z} $ em relação a $ y $ é zero, já que não depende de $ y $.)
  1. Derivada de $ R $ em relação a $ z $:
partial Ppartial x = partialpartial x ( x^3 + z cos y3 ) = 3x^23 = x^2

Passo 4

Somando tudo, a divergência de $ \mathbf{F} $ é:
F

Passo 5

Agora, vamos integrar essa divergência sobre o volume $ W $, que é uma esfera de raio 2. Em coordenadas esféricas, sabemos que:
W
E o volume integral em coordenadas esféricas fica:
x^2 + y^2 + z^2 = rho^2
Sabendo que o volume de uma esfera é:
integral triplaW nabla cdot F , dV = integral triplaW rho^2 , dV
integral triplaW rho^2 , dV = integral0^2pi integral0^pi integral0^2 rho^2 cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Resolvendo cada integral:
= integral0^2pi dtheta integral0^pi sin phi , dphi integral0^2 rho^4 , drho
integral0^2pi dtheta = 2pi
integral0^pi sin phi , dphi = 2
Multiplicando tudo:
integral0^2 rho^4 , drho = [ rho^55 ]0^2 = 325

Resposta

O fluxo do campo vetorial $ \mathbf{F} $ através da superfície $ S $ é $ \frac{128\pi}{5} $.

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