1. (a) Considere a função f(x)=lsen x|x|, se x neq 0, 0, se x=0 . b) i. Verifique se f é contínua em x=0. ii. Esta função é diferenciável em x=0 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, o enunciado define a função
f(x) = sin x|x|, & x neq 0, 0, & x = 0,
e pede em (b) i) verificar se f é contínua em x=0 e em (b) ii) se f é diferenciável em x=0. Para isso vamos calcular os limites laterais em 0 e usar o fato de que derivável implica contínua.

Passo 2

Calculamos os limites laterais em x=0.
Para x>0 temos |x|=x e
f(x)=sin xx,
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limxto0^+f(x) =limxto0^+sin xx =1
Para x<0 temos |x|=-x e
f(x)=sin x-x =-sin xx,
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limxto0^-f(x) =-limxto0^-sin xx =-1

Passo 3

Como
limxto0^+f(x)=1 e limxto0^-f(x)=-1,
os limites laterais são diferentes e, portanto,
limxto0f(x) não existe. Logo
f não é contínua em x=0.

Passo 4

Diferenciabilidade em um ponto exige continuidade nesse ponto. Já que
f não é contínua em x=0, ela não pode ser diferenciável em
x=0.

Resposta

i. f não é contínua em x=0.
ii. f não é diferenciável em x=0.

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