3 Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função f(x, y, z)=2 x+6 y+10 z sujeita à restrição g(x, y, z)=x^2+y^2+z^2=35.
R: Valor Máx 70 Valor Mín - 70

Passo 1

O enunciado pede os extremos de
f(x,y,z)=2x+6y+10z
sob a restrição
g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2=35
O método é o dos multiplicadores de Lagrange, que consiste em igualar nabla f a lambdanabla g.

Passo 2

Definimos a função de Lagrange
L(x,y,z,lambda)=2x+6y+10z-lambdal(x^2+y^2+z^2-35r)
As condições de ótima são
partialLpartial x=0, partialLpartial y=0, partialLpartial z=0, partialLpartial lambda=0

Passo 3

Calculando as derivadas, obtemos
2 - 2lambda x = 0, 6 - 2lambda y = 0, 10 - 2lambda z = 0, x^2+y^2+z^2=35
Das três primeiras equações vem
x=1lambda, y=3lambda, z=5lambda

Passo 4

Substituindo na restrição,
l(tfrac1lambdar)^2 + l(tfrac3lambdar)^2 + l(tfrac5lambdar)^2 = 1+9+25lambda^2 = 35lambda^2 =35 ;Longrightarrow; lambda^2=1 ;Longrightarrow; lambda=pm1
Assim os pontos candidatos são
(x,y,z)=(1,3,5)(lambda=1),
(x,y,z)=(-1,-3,-5)(lambda=-1)

Passo 5

Calculamos f nesses pontos:
f(1,3,5)=2cdot1+6cdot3+10cdot5=2+18+50=70,
f(-1,-3,-5)=2cdot(-1)+6cdot(-3)+10cdot(-5)=-2-18-50=-70
Portanto, o maior valor de f é 70 e o menor é -70.

Resposta

Valor Máx 70
Valor Mín -70

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