Exercício 9. Determine quais funções são convexas e/ou côncavas, provando suas afirmações.
f(x, y, z)=x^2+y^2-4 z^2.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a função
fcolonR^3toR, f(x,y,z)=x^2+y^2-4z^2
é convexa e/ou côncava.
O conteúdo teórico que vamos usar é o critério do hessiano: uma função duas vezes diferenciável é convexa se e somente se seu hessiano for semidefinido positivo, e é côncava se e somente se seu hessiano for semidefinido negativo.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de segunda ordem para montar o hessiano.
Como
partial^2 fpartial x^2=2, partial^2 fpartial y^2=2, partial^2 fpartial z^2=-8
e todas as derivadas mistas são zero, o hessiano é a matriz constante
Hf(x,y,z) = 2 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -8

Passo 3

Os autovalores dessa matriz são exatamente os valores na diagonal:
lambda1=2, lambda2=2, lambda3=-8
Como há dois autovalores positivos e um negativo, o hessiano é indefinido.

Passo 4

Um hessiano indefinido implica que a função não é convexa (falha a semidefinição positiva) e também não é côncava (falha a semidefinição negativa).

Resposta

A função f(x,y,z)=x^2+y^2-4z^2 não é convexa nem côncava.

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