Exercício 9. Determine quais funções são convexas e/ou côncavas, provando suas afirmações. .
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a função
é convexa e/ou côncava.
O conteúdo teórico que vamos usar é o critério do hessiano: uma função duas vezes diferenciável é convexa se e somente se seu hessiano for semidefinido positivo, e é côncava se e somente se seu hessiano for semidefinido negativo.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de segunda ordem para montar o hessiano.
Como
e todas as derivadas mistas são zero, o hessiano é a matriz constante
Passo 3
Os autovalores dessa matriz são exatamente os valores na diagonal:
lambda1=2, lambda2=2, lambda3=-8
Como há dois autovalores positivos e um negativo, o hessiano é indefinido.
Passo 4
Um hessiano indefinido implica que a função não é convexa (falha a semidefinição positiva) e também não é côncava (falha a semidefinição negativa).
Resposta
A função f(x,y,z)=x^2+y^2-4z^2 não é convexa nem côncava.