Faça o que se pede:
Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico de f(x, y)=2 x y^2x^2+y^4,(x, y) neq (0,0)

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as curvas de nível e esboçar o gráfico de
f(x,y)=\frac{2xy2}{x2+y^4}, (x,y)\neq(0,0). O conteúdo é campo escalar e contornos de funções de duas variáveis. Vamos precisar escrever f(x,y)=c, identificar a equação das curvas de nível e depois discutir qualitativamente o formato da superfície.

Passo 2

Para obter as curvas de nível, igualamos f(x,y) a uma constante c:
2xy^2x^2 + y^4 = c
Multiplicando, ficamos com:
2xy^2 = c,(x^2 + y^4)
Isso é uma equação quadrática em x.

Passo 3

Reescrevendo como
c,x^2 - 2y^2,x + c,y^4 = 0
podemos usar a fórmula de Bhaskara para x em função de y. Isso mostra que x é proporcional a y^2: definimos k de modo que x = k,y^2.

Passo 4

Aplicando Bhaskara em x obtemos
k = 2y^2 pm raiz4y^4 - 4c^2y^42c,y^2 = 1 pm raiz1 - c^2c
Logo as curvas de nível são parabolas de equação
x = k(c),y^2, k(c)=1pmraiz1-c^2c
válidas para |c|\le1.

Passo 5

Para |c|<1 temos duas parabolas distintas (escolhendo + e –). Para c=±1 as duas se fundem em
x = y^2c,, c=pm1
Não há curvas de nível reais para |c|>1.

Passo 6

No plano xy, as parabolas para c>0 abrem para a direita e, para c<0, abrem para a esquerda. À medida que c→0 uma das parabolas tende a x=0 (eixo y) e a outra se abre muito (k→2/c grande).

Passo 7

Para esboçar o gráfico 3D note que f é par em y e ímpar em x: f(–x,y)=–f(x,y) e f(x,–y)=f(x,y). Tem valor zero em x=0 e em y=0. Ao longo da parábola y^2=x, c=1 (pico máximo f=1) e em y^2=–x, c=–1 (vale mínimo f=–1). A superfície não tem limite único em (0,0) pois depende da via de aproximação.

Passo 8

O esboço: no plano xy pintamos várias parabolas x=k©y^2, rotulando cada c entre –1 e 1. Em seguida levantamos uma superfície que atinge z=c sobre cada curva de nível c. Assim vemos cristas em z=±1 e vale em z=0 ao longo dos eixos.

Resposta

As curvas de nível de f são parabolas de equação
x = k(c),y^2, k(c)=1pmraiz1-c^2c, |c|<=1
Para c=±1 temos x=y^2/c. Graficamente, no plano xy desenham-se estas parabolas (abrindo para a direita se c>0, para a esquerda se c<0), e o esboço 3D mostra uma crista em z=1 sobre y^2=x, um vale em z=–1 sobre y^2=–x e região de z=0 ao longo dos eixos.

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