Considere a função f(x)=lx^2,-pi <= x <= pi f(x+2 pi)
A função f pode ser aproximada pela série de Fourier? por que?

Passo 1

Aqui vamos analisar a função f periódica de período 2pi, definida por f(x)=x^2 em [-pi,pi] e estendida por f(x+2pi)=f(x). Queremos saber se dá para aproximar f pela sua série de Fourier; para isso, vamos verificar as condições de Dirichlet.

Passo 2

As condições de Dirichlet dizem que uma função periódica pode ser expandida em série de Fourier se, em um período, ela for limitada, tiver um número finito de descontinuidades de primeira espécie e um número finito de máximos e mínimos locais. Se esses requisitos forem atendidos, a série converge nos pontos de continuidade e para a média dos limites laterais nos pontos de descontinuidade.

Passo 3

No nosso caso, f(x)=x^2 é um polinômio, portanto é contínua e derivável em todo R. Em cada período [-pi,pi], f é limitada, não possui descontinuidades nem infinitos extremos. Logo, satisfaz todas as condições de Dirichlet.

Passo 4

Como f atende às condições de Dirichlet, a sua série de Fourier converge para f(x) em todos os pontos de continuidade (que é todo o domínio) e permite aproximá-la arbitrariamente bem pelas somas parciais. Além disso, por ser C^1, a convergência é, de fato, uniforme.

Resposta

Sim. Como f(x)=x^2 em [-pi,pi] estendida periodicamente satisfaz as condições de Dirichlet (é limitada, contínua e tem número finito de extremos), ela pode ser aproximada pela sua série de Fourier.

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