Use a definição de derivada e calcule f^prime(x) e f^prime prime(x) para as seguintes funções:
f(x)=3 x^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a primeira e a segunda derivada da função usando a definição de derivada. Para isso, vamos precisar entender o conceito de derivada e como aplicá-lo passo a passo.

Passo 2

A definição de derivada de uma função f'(x) = limh to 0 f(x + h) - f(x)h em um ponto é dada por:
Isso nos ajuda a encontrar a taxa de variação de em relação a .

Passo 3

Vamos aplicar essa definição para f(x + h) = 3(x + h)^2 = 3(x^2 + 2xh + h^2) = 3x^2 + 6xh + 3h^2 :
Primeiro, calculemos :

Passo 4

Agora, substituímos na definição da derivada:
f'(x) = limh to 0 [3x^2 + 6xh + 3h^2] - 3x^2h = limh to 0 6xh + 3h^2h

Passo 5

Simplificamos a expressão:
f'(x) = limh to 0 (6x + 3h) = 6x
Então, a primeira derivada é .

Passo 6

Agora, para encontrar a segunda derivada f''(x) = limh to 0 f'(x + h) - f'(x)h , aplicamos a definição novamente à primeira derivada:
f'(x + h) = 6(x + h) = 6x + 6h
Sabemos que f''(x) = limh to 0 (6x + 6h) - 6xh = limh to 0 6hh = 6 , então:

Resposta

A primeira derivada de é e a segunda derivada é .

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