Considere a função
. No método de ponto fixo o problema
a ser resolvido é transformado em
, sendo
chamada função iteração.
Considerando o problema de se obter a raiz
de
com aproximação inicial
, qual função iteração garantirá a convergência do método?
Considerando o problema de se obter a raiz
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e queremos achar a raiz
usando o Método de Ponto Fixo. Esse método transforma a equação
em
, onde
é a função iteração. Para garantir que a gente chegue na raiz de forma tranquila, precisamos escolher uma
que faça o método convergir. Vamos precisar entender como transformar a equação original e verificar se a função escolhida realmente vai nos levar até
.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação
em
. A nossa equação original é:
Vamos resolver para
de uma maneira que fique da forma
. Uma das formas de fazer isso é isolando
:
Então, tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Então, nossa função iteração é:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essa função
vai realmente nos ajudar a chegar na raiz
. Para isso, vamos usar um critério de convergência do Método de Ponto Fixo, que diz que a derivada de
no ponto fixo (nossa raiz) deve ter módulo menor que 1:
Vamos calcular a derivada de
:
Agora, avaliando no ponto
:
Como
, a condição de convergência é satisfeita. Isso significa que, começando com
, nosso método vai convergir para a raiz
.
Resposta
A função iteração que garante a convergência do método é: