Considere a função f(x)=x^2-2 x-3. No método de ponto fixo o problema f(x)=0 a ser resolvido é transformado em x=varphi(x), sendo varphi(x) chamada função iteração.
Considerando o problema de se obter a raiz barx=3 de f(x) com aproximação inicial x0=1,5, qual função iteração garantirá a convergência do método?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e queremos achar a raiz usando o Método de Ponto Fixo. Esse método transforma a equação em , onde é a função iteração. Para garantir que a gente chegue na raiz de forma tranquila, precisamos escolher uma que faça o método convergir. Vamos precisar entender como transformar a equação original e verificar se a função escolhida realmente vai nos levar até .

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação x^2 - 2x - 3 = 0 em x^2 - 2x - 3 = 0 implies x^2 = 2x + 3 . A nossa equação original é:
x = raiz2x + 3
Vamos resolver para varphi(x) = raiz2x + 3 de uma maneira que fique da forma . Uma das formas de fazer isso é isolando :
Então, tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Então, nossa função iteração é:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essa função |varphi'(x)| < 1 para x = barx vai realmente nos ajudar a chegar na raiz varphi(x) = raiz2x + 3 implies varphi'(x) = 22raiz2x + 3 = 1raiz2x + 3 . Para isso, vamos usar um critério de convergência do Método de Ponto Fixo, que diz que a derivada de varphi'(3) = 1raiz2 times 3 + 3 = 1raiz9 = 13 approx 0,333 no ponto fixo (nossa raiz) deve ter módulo menor que 1:
Vamos calcular a derivada de :
Agora, avaliando no ponto :
Como , a condição de convergência é satisfeita. Isso significa que, começando com , nosso método vai convergir para a raiz .

Resposta

A função iteração que garante a convergência do método é:
varphi(x) = raiz2x + 3

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