Considere a função f(x)=x^2-2 x-3. No método de ponto fixo o problema f(x)=0 a ser resolvido é transformado em x=varphi(x), sendo varphi(x) chamada função iteração.
Mostre varphi1(x)=2+3x e varphi2(x)=x^2-x-3 satisfazem a equação x=varphi(x) para a função dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para trabalharmos com a função e usar o método do ponto fixo para resolver a equação . O método do ponto fixo envolve transformar essa equação em uma forma , onde é chamada de função iteração. Precisamos mostrar que duas funções específicas, e , satisfazem essa equação transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa transformar em . Basicamente, estamos reescrevendo a equação original de forma que o valor de seja apresentado como uma função dele mesmo. Isso é útil no método do ponto fixo, onde usamos iterações para aproximar a solução.

Passo 3

Vamos começar com a função x = 2 + 3x . Nossa tarefa é verificar se, ao substituir x cdot x = 2x + 3 na equação x^2 - 2x - 3 = 0 , obtemos a mesma forma que .
Substituindo na equação:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar a fração:
Simplificando:
Esse é exatamente o dado na questão. Portanto, satisfaz a equação .

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda função x = x^2 - x - 3 . Substituindo x^2 - 2x - 3 = 0 na equação , temos:
Levendo todos os termos para um lado para comparar com :
Novamente, chegamos ao original. Isso mostra que também satisfaz a equação .

Resposta

As funções e satisfazem a equação para a função dada .

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