Considere a função
. No método de ponto fixo o problema
a ser resolvido é transformado em
, sendo
chamada função iteração.
Mostre
e
satisfazem a equação
para a função dada.
Mostre
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para trabalharmos com a função
e usar o método do ponto fixo para resolver a equação
. O método do ponto fixo envolve transformar essa equação em uma forma
, onde
é chamada de função iteração. Precisamos mostrar que duas funções específicas,
e
, satisfazem essa equação transformada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa transformar
em
. Basicamente, estamos reescrevendo a equação original de forma que o valor de
seja apresentado como uma função dele mesmo. Isso é útil no método do ponto fixo, onde usamos iterações para aproximar a solução.
Passo 3
Vamos começar com a função
. Nossa tarefa é verificar se, ao substituir
na equação
, obtemos a mesma forma que
.
Substituindo
na equação:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar a fração:
Simplificando:
Esse é exatamente o
dado na questão. Portanto,
satisfaz a equação
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda função
. Substituindo
na equação
, temos:
Levendo todos os termos para um lado para comparar com
:
Novamente, chegamos ao
original. Isso mostra que
também satisfaz a equação
.
Resposta
As funções
e
satisfazem a equação
para a função dada
.