Considere a função f(x)=x e^-x, onde x in R.
Encontre os pontos críticos de f.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função f(x)=x e^-x, com xinR. Para isso vamos precisar calcular a derivada de f e depois identificar onde essa derivada é zero ou indefinida (pontos críticos).

Passo 2

Para calcular f'(x) usamos a regra do produto, em que u(x)=x e v(x)=e^-x. Sabemos que u'(x)=1 e v'(x)=-e^-x. Portanto:
f'(x)=ddx[xcdot e^-x]=1cdot e^-x+xcdot(-e^-x)=e^-x-x e^-x=e^-x(1-x)

Passo 3

Por definição, pontos críticos ocorrem onde f'(x)=0 ou onde f' é indefinida. Aqui e^-x nunca zera nem fica indefinida, então basta resolver
e^-x(1-x)=0 Dessa equação só pode sair 1-x=0, de onde x=1. Como f' está definida em todo R, esse é o único ponto crítico. Para completar, o valor da função em x=1 é
f(1)=1cdot e^-1=e^-1

Passo 4

Portanto o único ponto crítico da curva é (1,e^-1).

Resposta

O único ponto crítico é x=1, correspondendo ao ponto no gráfico (1, e^{-1}).

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