Determine a equação da reta tangente e perpendicular (normal), no ponto
da função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal (perpendicular) no ponto
da função
. Vamos usar conceitos de derivadas para achar a inclinação dessas retas.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto
. Substituímos
na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 4
Com a inclinação da reta tangente (
) e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação da reta tangente é
.
Passo 5
Agora, para encontrar a reta normal, precisamos da inclinação perpendicular à reta tangente. Lembrando que retas perpendiculares têm inclinações que são negativas e inversas uma da outra. Então, a inclinação da reta normal (
) é:
Passo 6
Com a inclinação da reta normal (
) e o ponto
, usamos novamente a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação da reta normal é
.
Resposta
A reta tangente é
e a reta normal é
.