Determine a equação da reta tangente e perpendicular (normal), no ponto (2,1) da função:
y=x^3-4 x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal (perpendicular) no ponto (2,1) da função y = x^3 - 4x + 1. Vamos usar conceitos de derivadas para achar a inclinação dessas retas.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a derivada da função y = x^3 - 4x + 1. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
A derivada de y em relação a x é:
y' = dydx = 3x^2 - 4

Passo 3

Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto (2,1). Substituímos x = 2 na derivada:
y' = 3(2)^2 - 4 = 3 times 4 - 4 = 12 - 4 = 8
Então, a inclinação da reta tangente é 8.

Passo 4

Com a inclinação da reta tangente ( mt = 8) e o ponto (2,1), podemos usar a fórmula da equação da reta:
y - y1 = mt (x - x1)
Substituindo os valores:
y - 1 = 8(x - 2)
Simplificando:
y = 8x - 16 + 1 y = 8x - 15
Então, a equação da reta tangente é y = 8x - 15.

Passo 5

Agora, para encontrar a reta normal, precisamos da inclinação perpendicular à reta tangente. Lembrando que retas perpendiculares têm inclinações que são negativas e inversas uma da outra. Então, a inclinação da reta normal ( mn) é:
mn = -1mt = -18

Passo 6

Com a inclinação da reta normal ( mn = -18) e o ponto (2,1), usamos novamente a fórmula da equação da reta:
y - y1 = mn (x - x1)
Substituindo os valores:
y - 1 = -18(x - 2)
Simplificando:
y = -18x + 28 + 1 y = -18x + 14 + 1 y = -18x + 54
Então, a equação da reta normal é y = -18x + 54.

Resposta

A reta tangente é y = 8x - 15 e a reta normal é y = -18x + 54.

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