Considere a função f(x)=|x|. Faça uma análise da derivada de f num ponto a para cada um dos casos em que a>0, a<0 e a=0.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a derivada da função
f(x)=|x|
num ponto a, considerando separadamente os casos a>0, a<0 e a=0. O conteúdo aqui é o conceito de derivada como limite do quociente incremental, ou seja,
f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)h

Passo 2

Para a>0 temos que a+h fica também em região positiva (para h suficientemente pequeno), de modo que
f(a)=a, f(a+h)=a+h
Logo o quociente incremental é
f(a+h)-f(a)h=(a+h)-ah=hh=1
e passando ao limite vem
f'(a)=1se a>0

Passo 3

Para a<0 o mesmo raciocínio vale, pois a+h permanece negativo quando h é pequeno, então
f(a)=-a, f(a+h)=-(a+h)
e
f(a+h)-f(a)h=[-(a+h)]-[-a]h=-a-h+ah=-hh=-1
Assim
f'(a)=-1se a<0

Passo 4

Para a=0 usamos
f'(0)=limhto0f(h)-f(0)h=limhto0|h|-0h=limhto0|h|h
Quando hto0^+, |h|h=1; quando hto0^-, |h|h=-1. Como os limites laterais são diferentes, a derivada não existe em 0.

Resposta

Para f(x)=|x| vale
f'(a)= 1, & a>0, -1, & a<0, não existe, & a=0 ã

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