Considere a função
. Faça uma análise da derivada de
num ponto
para cada um dos casos em que
e
.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a derivada da função
num ponto
, considerando separadamente os casos
,
e
. O conteúdo aqui é o conceito de derivada como limite do quociente incremental, ou seja,
Passo 2
Para
temos que
fica também em região positiva (para
suficientemente pequeno), de modo que
Logo o quociente incremental é
e passando ao limite vem
Passo 3
Para
o mesmo raciocínio vale, pois
permanece negativo quando
é pequeno, então
e
Assim
Passo 4
Para
usamos
Quando
,
; quando
,
. Como os limites laterais são diferentes, a derivada não existe em
.
Resposta
Para
vale