Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e caso seja, determine a solução geral e a solução particular que pasa pelo ponto (1,2).
(e^x sin y+3 y)-(3 x-e^x sin y) d yd x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
l(e^xsin y + 3yr);-;l(3x - e^xsin yr),dydx=0
e pede para verificar se ela é exata. O conteúdo aqui é “equações diferenciais exatas” e vamos precisar escrever na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy=0
e checar se partial Mpartial y=partial Npartial x.

Passo 2

Reescrevendo em diferencial total, temos
M(x,y)=e^xsin y + 3y, N(x,y)=-(3x - e^xsin y)=-3x + e^xsin y
Para testar exatidão, calculamos as derivadas parciais:

Passo 3

partial Mpartial y = e^xcos y + 3, partial Npartial x = -3 + e^xsin y
Como
e^xcos y + 3 ;neq; -3 + e^xsin y,
a equação não é exata.

Resposta

A equação dada não é exata, logo não há solução geral exata sem o uso de fator integrante.

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