Mostre que os limites não existem:
lim x 2 |x^2-2 x|x-2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
limxto2lvert x^2-2xrvertx-2
não existe. O conteúdo é análise de limite de função envolvendo valor absoluto e precisamos estudar os limites laterais em x=2.

Passo 2

Para xneq2 fatoramos o numerador:
x^2-2x = x(x-2),
logo
lvert x^2-2xrvertx-2 = lvert x(x-2)rvertx-2 = lvert xrvert ,lvert x-2rvertx-2

Passo 3

Analisando xto2^+ (pela direita), temos x-2>0, então lvert x-2rvert = x-2 e
lvert x-2rvertx-2=1,
portanto
limxto2^+lvert x^2-2xrvertx-2 = limxto2^+lvert xrvert =2

Passo 4

Analisando xto2^- (pela esquerda), temos x-2<0, então lvert x-2rvert = -(x-2) e
lvert x-2rvertx-2=-1
Como x está próximo de 2>0, lvert xrvert=x, logo
limxto2^-lvert x^2-2xrvertx-2 = limxto2^-(-lvert xrvert) = -2

Passo 5

As duas retas laterais são diferentes:
limxto2^+lvert x^2-2xrvertx-2=2 e limxto2^-lvert x^2-2xrvertx-2=-2
Como os limites laterais não coincidem, o limite em x=2 não existe.

Resposta

O limite limxto2lvert x^2-2xrvertx-2 não existe.

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