Esboce a região de integração e calcule a integral.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2} 3 y^{2} e^{-x} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração
integral0^1!integral0^23,y^2e^-x,dx,dy
e em seguida calcular esse valor. O conteúdo aqui é aplicação de integrais duplas em região retangular, usando o Teorema de Fubini para separar as integrais.

Passo 2

A região de integração é um retângulo no plano xy com
0 <= x <= 2, 0 <= y <= 1
Em outras palavras, é o polígono de vértices (0,0), (2,0), (2,1) e (0,1). Basta desenhar esse retângulo no primeiro quadrante.

Passo 3

Aplicando Fubini, primeiro integramos em x, considerando y constante:
integral0^23,y^2e^-x,dx =3,y^2integral0^2e^-x,dx =3,y^2l[-e^-xr]0^2 =3,y^2l(1-e^-2r)

Passo 4

Agora integramos em y:
integral0^13,y^2l(1-e^-2r),dy =(1-e^-2)integral0^13,y^2,dy =(1-e^-2)l[y^3r]0^1 =1-e^-2

Resposta

integral0^1!integral0^23,y^2e^-x,dx,dy =1-e^-2

Exercícios relacionados