Considere a função f(x)=1 / x e os pontos \{(1,1),(1.5,0.667),(2.5,0.4)\}.
Qual a cota superior do módulo do erro de truncamento na interpolação polinomial de \mathrm{x}=1.2 usando todos os pontos?

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{1}{x} e os pontos (1,1), (1{,}5,0{,}667) e (2{,}5,0{,}4). Pede-se a cota superior do módulo do erro de truncamento (ou resto da interpolação polinomial) em x=1{,}2 usando todos os pontos indicados (ou seja, o polinômio interpolador que passa pelos três pontos).

Passo 2

Vamos usar a fórmula do resto da interpolação polinomial (fórmula de Lagrange para o termo de erro). Para um polinômio interpolador de grau n em pontos x_0,\dots,x_n, o resto em x é dado por
R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^{n}(x-x_i)
onde \xi é algum ponto entre os nós e x. Aqui:
  • n é o grau do polinômio interpolador;
  • f^{(n+1)}(\xi) é a (n+1)-ésima derivada de f avaliada em \xi;
  • o produto \prod_{i=0}^{n}(x-x_i) é o produto das diferenças entre o ponto onde avaliamos o erro e cada nó.
Para obter uma cota superior do módulo do erro usamos
|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}\left|\prod_{i=0}^{n}(x-x_i)\right|
onde M=\max_{t\in I}|f^{(n+1)}(t)| e I é um intervalo que contém todos os nós e o ponto x.

Passo 3

Temos três pontos, portanto o polinômio interpolador tem grau n=2. Assim usamos a fórmula com n=2:
R_2(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2).
A cota será
|R_2(x)|\le \frac{M}{3!}\left|(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\right|.

Passo 4

Os nós (valores de x) são x_0=1, x_1=1{,}5, x_2=2{,}5, e queremos o erro em x=1{,}2. Então escolhemos o intervalo I=[1,2{,}5] que contém todos os nós e x. O valor M será o máximo de |f^{(3)}(t)| em t\in[1,2{,}5].

Passo 5

Calculamos as derivadas de f(x)=\dfrac{1}{x}=x^{-1} passo a passo (regras de potência):
f'(x)=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2},
f''(x)=2x^{-3}=\dfrac{2}{x^3},
f^{(3)}(x)=-6x^{-4}=-\dfrac{6}{x^4}.
Portanto |f^{(3)}(x)|=\dfrac{6}{x^4}.

Passo 6

Agora determinamos M=\max_{t\in[1,2{,}5]}\dfrac{6}{t^4}. Como a função \dfrac{6}{t^4} é decrescente para t>0, o máximo no intervalo ocorre em t=1. Logo
M=\frac{6}{1^4}=6.
(Para conferir: em t=2{,}5 teríamos \dfrac{6}{2{,}5^4}\approx0{,}1536, muito menor.)

Passo 7

Calculamos o produto das distâncias \left|(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\right| em x=1{,}2:
|1{,}2-1|=0{,}2,\quad |1{,}2-1{,}5|=0{,}3,\quad |1{,}2-2{,}5|=1{,}3.
Multiplicando passo a passo:
0{,}2\cdot 0{,}3=0{,}06,
0{,}06\cdot 1{,}3=0{,}078.
Portanto \left|(1{,}2-1)(1{,}2-1{,}5)(1{,}2-2{,}5)\right|=0{,}078.

Passo 8

Juntando tudo na cota:
|R_2(1{,}2)|\le \frac{M}{3!}\cdot 0{,}078.
Como M=6 e 3!=6, temos \dfrac{M}{3!}=1. Assim
|R_2(1{,}2)|\le 1\cdot 0{,}078 = 0{,}078.

Resposta

0,078

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