Considere a função f(x)=1 / x e os pontos \{(1,1),(1.5,0.667),(2.5,0.4)\}.
Qual a cota superior do módulo do erro de truncamento na interpolação polinomial de \mathrm{x}=1.2 usando todos os pontos?
Passo 1
O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{1}{x} e os pontos (1,1), (1{,}5,0{,}667) e (2{,}5,0{,}4). Pede-se a cota superior do módulo do erro de truncamento (ou resto da interpolação polinomial) em x=1{,}2 usando todos os pontos indicados (ou seja, o polinômio interpolador que passa pelos três pontos).
Passo 2
Vamos usar a fórmula do resto da interpolação polinomial (fórmula de Lagrange para o termo de erro). Para um polinômio interpolador de grau n em pontos x_0,\dots,x_n, o resto em x é dado por
Os nós (valores de x) são x_0=1, x_1=1{,}5, x_2=2{,}5, e queremos o erro em x=1{,}2. Então escolhemos o intervalo I=[1,2{,}5] que contém todos os nós e x. O valor M será o máximo de |f^{(3)}(t)| em t\in[1,2{,}5].
Passo 5
Calculamos as derivadas de f(x)=\dfrac{1}{x}=x^{-1} passo a passo (regras de potência):
f'(x)=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2},
f''(x)=2x^{-3}=\dfrac{2}{x^3},
f^{(3)}(x)=-6x^{-4}=-\dfrac{6}{x^4}.
Portanto |f^{(3)}(x)|=\dfrac{6}{x^4}.
Passo 6
Agora determinamos M=\max_{t\in[1,2{,}5]}\dfrac{6}{t^4}. Como a função \dfrac{6}{t^4} é decrescente para t>0, o máximo no intervalo ocorre em t=1. Logo
M=\frac{6}{1^4}=6.
(Para conferir: em t=2{,}5 teríamos \dfrac{6}{2{,}5^4}\approx0{,}1536, muito menor.)
Passo 7
Calculamos o produto das distâncias \left|(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\right| em x=1{,}2: