Considere a tabela de pontos abaixo:
x_{i} 0.20 0.50 1.00 1.25 2.00
y_{i} 3 5 8 11 14
Assuma o modelo y=\frac{b}{x}+\epsilon relacionando as duas variáveis, onde o parâmetro b é desconhecido. Responda às próximas duas questões:
Qual o valor de b que minimiza \sum \epsilon_{i}^{2} ? Responda com precisão de pelo menos 2 casas decimais.
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com pares (x_i,y_i) e pede o valor do parâmetro b no modelo y=\frac{b}{x}+\epsilon que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos \sum \epsilon_i^2. Os dados fornecidos na tabela (que eu usei diretamente) são:
\begin{array}{c|ccccc} x_i & 0{,}20 & 0{,}50 & 1{,}00 & 1{,}25 & 2{,}00\\hline y_i & 3 & 5 & 8 & 11 & 14 \end{array}
Pergunta explícita: Qual o valor de b que minimiza \sum \epsilon_i^2? Responder com pelo menos duas casas decimais.

Passo 2

Escrevemos o resíduo para cada observação. Para uma observação i,
\epsilon_i = y_i - \frac{b}{x_i}.
A função objetivo (soma dos quadrados dos resíduos) é
S(b)=\sum_{i=1}^{n}\epsilon_i^2=\sum_{i=1}^{n}\left(y_i-\frac{b}{x_i}\right)^2.
Nosso objetivo é encontrar b que minimiza S(b).

Passo 3

Para minimizar S(b) em relação a b usamos cálculo: derivamos S(b) em relação a b e igualamos a zero (condição de mínimo).
Primeiro, calcule a derivada:
\frac{dS}{db}=\sum_{i=1}^{n}2\left(y_i-\frac{b}{x_i}\right)\left(-\frac{1}{x_i}\right).
Igualando a zero:
\sum_{i=1}^{n}\left(y_i-\frac{b}{x_i}\right)\left(-\frac{1}{x_i}\right)=0.

Passo 4

Simplificando a equação da derivada temos a equação normal para b:
\sum_{i=1}^{n}\left(-\frac{y_i}{x_i}+\frac{b}{x_i^2}\right)=0.
Rearranjando,
-\sum_{i=1}^{n}\frac{y_i}{x_i}+b\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i^2}=0.
Logo a solução para b é
b=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{y_i}{x_i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i^2}}.
Aqui cada somatório é sobre as n=5 observações; \frac{1}{x_i} é o inverso de x_i e \frac{1}{x_i^2} é o quadrado desse inverso.

Passo 5

Agora calculamos os termos necessários usando os dados da tabela. Primeiro calculemos u_i=\frac{1}{x_i}. Usando os x_i da tabela:
\begin{aligned} \frac{1}{0{,}20}&=5{,}0,\\\ \frac{1}{0{,}50}&=2{,}0,\\\ \frac{1}{1{,}00}&=1{,}0,\\\ \frac{1}{1{,}25}&=0{,}8,\\\ \frac{1}{2{,}00}&=0{,}5. \end{aligned}

Passo 6

Calculamos agora os produtos \frac{y_i}{x_i}=y_i\cdot u_i e os quadrados u_i^2=\frac{1}{x_i^2} (novamente usando os valores da tabela):
\begin{aligned} y_1u_1&=3\cdot 5{,}0=15{,}0,& u_1^2&=5{,}0^2=25{,}00,\\\ y_2u_2&=5\cdot 2{,}0=10{,}0,& u_2^2&=2{,}0^2=4{,}00,\\\ y_3u_3&=8\cdot 1{,}0=8{,}0,& u_3^2&=1{,}0^2=1{,}00,\\\ y_4u_4&=11\cdot 0{,}8=8{,}8,& u_4^2&=0{,}8^2=0{,}64,\\\ y_5u_5&=14\cdot 0{,}5=7{,}0,& u_5^2&=0{,}5^2=0{,}25. \end{aligned}

Passo 7

Somamos os termos do numerador e do denominador da fórmula de b:
\sum_{i=1}^{5}\frac{y_i}{x_i}=15{,}0+10{,}0+8{,}0+8{,}8+7{,}0=48{,}8,
\sum_{i=1}^{5}\frac{1}{x_i^2}=25{,}00+4{,}00+1{,}00+0{,}64+0{,}25=30{,}89.

Passo 8

Aplicando a fórmula de b:
b=\frac{48{,}8}{30{,}89}\approx 1{,}5798\ldots
Arredondando com pelo menos duas casas decimais, temos b\approx 1{,}58. Bom trabalho — você chegou ao estimador que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos!

Resposta

1{,}58

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