Considere a tabela de pontos abaixo:
0.20
0.50
1.00
1.25
2.00
3
5
8
11
14
Assuma o modelo
relacionando as duas variáveis, onde o parâmetro
é desconhecido. Responda às próximas duas questões:
Qual o valor de
que minimiza
? Responda com precisão de pelo menos 2 casas decimais.
Resposta:
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0.20 | 0.50 | 1.00 | 1.25 | 2.00 |
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3 | 5 | 8 | 11 | 14 |
Qual o valor de
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com pares
e pede o valor do parâmetro
no modelo
que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos
. Os dados fornecidos na tabela (que eu usei diretamente) são:
Pergunta explícita: Qual o valor de
que minimiza
? Responder com pelo menos duas casas decimais.
Passo 2
Escrevemos o resíduo para cada observação. Para uma observação
,
A função objetivo (soma dos quadrados dos resíduos) é
Nosso objetivo é encontrar
que minimiza
.
Passo 3
Para minimizar
em relação a
usamos cálculo: derivamos
em relação a
e igualamos a zero (condição de mínimo).
Primeiro, calcule a derivada:
Primeiro, calcule a derivada:
Igualando a zero:
Passo 4
Simplificando a equação da derivada temos a equação normal para
:
Rearranjando,
Logo a solução para
é
Aqui cada somatório é sobre as
observações;
é o inverso de
e
é o quadrado desse inverso.
Passo 5
Agora calculamos os termos necessários usando os dados da tabela. Primeiro calculemos
. Usando os
da tabela:
Passo 6
Calculamos agora os produtos
e os quadrados
(novamente usando os valores da tabela):
Passo 7
Somamos os termos do numerador e do denominador da fórmula de
:
Passo 8
Aplicando a fórmula de
:
Arredondando com pelo menos duas casas decimais, temos
. Bom trabalho — você chegou ao estimador que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos!