Exercício 12. O fibrado tangente à superfície n-dimensional M subseteq R^m, de classe C^k, é definido como
T M:=cupx in Mx times Tx M=(x, v) ; x in M, v in Tx M subset R^2 m
Prove que este fibrado possui uma estrutura de superfície diferenciável em R^2 m de classe C^k-1 e de dimensão 2 n induzida pelas parametrizações da superfície M.
Além disso, prove que a chamada “projeção” pi: T M longrightarrow M, definida por pi(x, v)=x, é uma aplicação de classe C^k-1 entre superfícies.

Passo 1

O enunciado define o fibrado tangente
onde é uma subvariedade de dimensão e classe . Queremos mostrar que é uma superfície diferenciável de dimensão e classe , usando as parametrizações locais de , e que a projeção canônica
, , é de classe .

Passo 2

Seja uma parametrização local de classe , com diferencial . Definimos
Como é imersão de posto , a matriz jacobiana de tem posto , e portanto é uma imersão . Além disso é injectiva e seu conjunto imagem é exatamente
.

Passo 3

Repetindo a construção para todo atlas de , obtemos cartas
que cobrem . Entre duas parametrizações e a mudança de carta em é
onde é de classe . Assim é . Logo as formam um atlas em e definem uma variedade de dimensão .

Passo 4

Na carta local a projeção fica
isto é, em coordenadas . Essa aplicação é claramente de classe de em . Como essa expressão local coincide com global, concluímos que é .

Resposta

Mostramos que admite um atlas de cartas cuja mudança de coordenadas é , logo é uma variedade de dimensão e classe . Na mesma construção, a projeção é, em cada carta, a aplicação , portanto é de classe .

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