Exercício 12. O fibrado tangente à superfície
-dimensional
, de classe
, é definido como
Prove que este fibrado possui uma estrutura de superfície diferenciável em
de classe
e de dimensão
induzida pelas parametrizações da superfície
.
Além disso, prove que a chamada “projeção”
, definida por
, é uma aplicação de classe
entre superfícies.
Passo 1
O enunciado define o fibrado tangente
onde é uma subvariedade de dimensão
e classe
. Queremos mostrar que
é uma superfície diferenciável de dimensão
e classe
, usando as parametrizações locais de
, e que a projeção canônica
,
, é de classe
.
Passo 2
Seja uma parametrização local de classe
, com diferencial . Definimos
Como
é imersão de posto
, a matriz jacobiana de
tem posto
, e portanto
é uma imersão
. Além disso
é injectiva e seu conjunto imagem é exatamente
.
Passo 3
Repetindo a construção para todo atlas de
, obtemos cartas
que cobrem . Entre duas parametrizações
e
a mudança de carta em
é
que cobrem
onde
é de classe
. Assim
é
. Logo as
formam um atlas
em
e definem uma variedade de dimensão
.
Passo 4
Na carta local a projeção
fica
isto é, em coordenadas
. Essa aplicação é claramente de classe
de em . Como essa expressão local coincide com
global, concluímos que
é
.
Resposta
Mostramos que
admite um atlas de cartas cuja mudança de coordenadas é
, logo
é uma variedade de dimensão
e classe
. Na mesma construção, a projeção
é, em cada carta, a aplicação
, portanto é de classe
.