Escreva as seguintes edo’s na forma exata e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas:
x d y-y d x=(x^2+y^2) d x

Passo 1

Temos a equação diferencial
x,dy - y,dx = (x^2 + y^2),dx
O objetivo é escrever isso na forma exata M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0 e depois encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro colocamos tudo num único lado e dividimos por x^2+y^2:
x,dy - y,dx - (x^2+y^2),dx = 0 Longrightarrow x,dy - y,dxx^2+y^2 ;-; dx = 0

Passo 3

Reconhecemos a identidade conhecida de diferencial total:
dl(arctan(y/x)r) = x,dy - y,dxx^2+y^2
Assim a equação fica
dl(arctan(y/x)r);-;dx = 0,
que é uma forma exata dF=0.

Passo 4

Basta agora integrar:
integral dl(arctan(y/x)r) ;-;integral dx = C ;Longrightarrow; arctan!l(tfracyxr) - x = C

Resposta

arctan!l(tfracyxr) = x + C,
ou, equivalentemente,
y = x,tanl(x + Cr)

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