Considere a função f(x)=rccraiz(x+2)^2 ; & se & x<0 x^2 ; & se & 0 <= x<2 1 ; & se & x >= 2
b) Calcule lim x 0 f(x), lim x 2 f(x), lim x infty f(x), lim x -infty f(x).

Passo 1

Estamos lidando com limites de uma função definida por partes:
f(x)= raiz(x+2)^2, & x<0 x^2, & 0<= x<2 1, & x>=2
O conteúdo aqui é cálculo de limites laterais em pontos de descontinuidade e limites no infinito. Vamos precisar avaliar cada caso separadamente usando o ramo correto da definição.

Passo 2

Para xto0 calculamos as duas aproximações laterais:
De xto0^-, estamos em x<0, logo
f(x)=raiz(x+2)^2=|x+2|
Como xto0^-, x+2to2>0, então |x+2|=x+2 e
limxto0^-f(x)=limxto0^-(x+2)=2
De xto0^+, temos f(x)=x^2 e
limxto0^+f(x)=limxto0^+x^2=0
Como as duas laterais são diferentes (2 e 0), limxto0f(x) não existe.

Passo 3

Para xto2 também examinamos os dois lados:
De xto2^-, cai no ramo x^2, então
limxto2^-f(x)=limxto2^-x^2=4
De xto2^+, cai no ramo constante 1, logo
limxto2^+f(x)=1
Como 4 ≠ 1, limxto2f(x) não existe.

Passo 4

Para xto+infty, quando x é grande estamos em x>=2, onde f(x)=1 é constante. Assim
limxto+inftyf(x)=1

Passo 5

Para xto-infty, usamos o ramo x<0:
f(x)=raiz(x+2)^2=|x+2|
Para xto-infty, x+2to-infty<0, então |x+2|=-(x+2)=-x-2. Como -x-2to+infty,
limxto-inftyf(x)=+infty

Resposta

limxto0f(x) não existe; limxto2f(x) não existe; limxto+inftyf(x)=1; limxto-inftyf(x)=+infty.

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