Suponha que a função dada é estendida periodicamente, para fora do intervalo original. Encontre a série de Fourier da função estendida. Determine a função para a qual a série converge e esboce seu gráfico por três períodos.
f(t)=lcL+x, & -L <= x<0, L-x, & 0 <= x

Passo 1

A questão pede a série de Fourier da função periódica de período 2L definida por f(x)=L+x em –L≤x<0 e f(x)=L–x em 0≤x<L. O conteúdo envolve séries de Fourier de funções pares e como obter os coeficientes através de integrais.

Passo 2

Observamos que f(x) é par, pois f(–x)=f(x). Logo todos os coeficientes b_n (seno) serão zero, sobrando apenas o termo constante e os coeficientes a_n (cosseno).
Para achar o termo constante usamos
a0=1Lintegral-L^Lf(x),dx= 2Lintegral0^L(L-x),dx =2Ll[Lx-x^22r]0^L =L
Então o termo constante na série é a_0/2=L/2.

Passo 3

O coeficiente a_n é
an=1Lintegral-L^Lf(x)cosnpi xL,dx =2Lintegral0^L(L-x)cosnpi xL,dx
Fazendo integração por partes e simplificando, chega-se a
integral0^L(L-x)cosnpi xL,dx =L^2n^2pi^2l(1-(-1)^nr)
Logo
an=2Ln^2pi^2l(1-(-1)^nr) =0,&n par,[6pt] 4Ln^2pi^2,&n ímpar í

Passo 4

Portanto a série de Fourier fica
f(x)=L2+sumk=1^infty4L(2k-1)^2pi^2cosl((2k-1)pi xLr)
A série converge para f(x) nos pontos em que ela é contínua (–L<x<L, exceto nas fronteiras periódicas). Nos pontos de descontinuidade x=(2m+1)L ela toma a média dos limites laterais, que é L. Assim a função de convergência é a onda triangular periódica com pico L em x=2mL e valor zero em x=(2m+1)L.

Passo 5

O esboço por três períodos (de –3L a 3L) é uma onda triangular: sobe linearmente de 0 (em x=–3L) a L (em x=–2L), desce a 0 (em x=–L), sobe a L (em x=0), desce a 0 (em x=L), sobe a L (em x=2L) e desce a 0 (em x=3L).

Resposta

A série de Fourier é
f(x)=L2+sumk=1^infty4L(2k-1)^2pi^2cosl((2k-1)pi xLr)
Ela converge para a onda triangular periódica de período 2L dada por
g(x)=L+x,&-Londe m é inteiro.

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