Suponha que a função dada é estendida periodicamente, para fora do intervalo original. Encontre a série de Fourier da função estendida. Determine a função para a qual a série converge e esboce seu gráfico por três períodos.
Passo 1
A questão pede a série de Fourier da função periódica de período 2L definida por f(x)=L+x em –L≤x<0 e f(x)=L–x em 0≤x<L. O conteúdo envolve séries de Fourier de funções pares e como obter os coeficientes através de integrais.
Passo 2
Observamos que f(x) é par, pois f(–x)=f(x). Logo todos os coeficientes b_n (seno) serão zero, sobrando apenas o termo constante e os coeficientes a_n (cosseno).
Para achar o termo constante usamos
Para achar o termo constante usamos
Então o termo constante na série é a_0/2=L/2.
Passo 3
O coeficiente a_n é
Fazendo integração por partes e simplificando, chega-se a
Logo
Passo 4
Portanto a série de Fourier fica
A série converge para f(x) nos pontos em que ela é contínua (–L<x<L, exceto nas fronteiras periódicas). Nos pontos de descontinuidade x=(2m+1)L ela toma a média dos limites laterais, que é L. Assim a função de convergência é a onda triangular periódica com pico L em x=2mL e valor zero em x=(2m+1)L.
Passo 5
O esboço por três períodos (de –3L a 3L) é uma onda triangular: sobe linearmente de 0 (em x=–3L) a L (em x=–2L), desce a 0 (em x=–L), sobe a L (em x=0), desce a 0 (em x=L), sobe a L (em x=2L) e desce a 0 (em x=3L).
Resposta
A série de Fourier é
Ela converge para a onda triangular periódica de período 2L dada por