Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de f:
(m) f(x, y)=7+x^2+y^2-2 x-4 y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função de duas variáveis f(x,y)=7 + x^2 + y^2 - 2x - 4y usando curvas de nível. O conteúdo principal é o estudo de curvas de nível e superfícies de nível, e vamos precisar completar quadrados para colocar f em forma canônica.

Passo 2

Para completar quadrados em x e y, observe que
f(x,y)=7 + x^2 - 2x + y^2 - 4y
e então complete cada parte:
x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1,
e
y^2 - 4y = (y-2)^2 - 4
Substituindo de volta em f, temos:
f(x,y)=7 + [(x-1)^2 - 1] + [(y-2)^2 - 4] = (x-1)^2 + (y-2)^2 + 2

Passo 3

Para uma curva de nível f(x,y)=c, iguale a expressão a c:
(x-1)^2 + (y-2)^2 + 2 = c
ou seja
(x-1)^2 + (y-2)^2 = c - 2,
com c >= 2 para ter raio real. As curvas de nível são círculos de centro (1,2) no plano xy e raio raizc-2. Para diferentes valores de c crescentes, os círculos aumentam de raio.

Passo 4

No espaço (x,y,z), esses círculos empilhados ao longo de z=c formam um paraboloide circular de vértice em (1,2,2).

Resposta

O gráfico de f é um paraboloide circular com vértice em (1,2,2); as curvas de nível no plano xy são círculos centrados em (1,2) de raio raizc-2 para cada valor z=c.

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