Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de
:
(m)
(m)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função de duas variáveis
usando curvas de nível. O conteúdo principal é o estudo de curvas de nível e superfícies de nível, e vamos precisar completar quadrados para colocar
em forma canônica.
Passo 2
Para completar quadrados em
e
, observe que
e então complete cada parte:
e
Substituindo de volta em
, temos:
Passo 3
Para uma curva de nível
, iguale a expressão a
:
ou seja
com
para ter raio real. As curvas de nível são círculos de centro
no plano
e raio
. Para diferentes valores de
crescentes, os círculos aumentam de raio.
Passo 4
No espaço
, esses círculos empilhados ao longo de
formam um paraboloide circular de vértice em
.
Resposta
O gráfico de
é um paraboloide circular com vértice em (1,2,2); as curvas de nível no plano xy são círculos centrados em (1,2) de raio
para cada valor
.