Se x>1, seja A(x) a área da região que está sob a reta y=2 t+1 entre t=1 e t=x. Esboce essa região e use a geometria para achar uma expressão para A(x).

Passo 1

O problema pede para encontrar a área sob a reta y=2t+1, para t variando de 1 até x>1. O conteúdo envolve cálculo de área de figuras planas e podemos usar geometria (trapézio) em vez de integrar.

Passo 2

Para visualizar, esboce o gráfico de y=2t+1. Nos pontos t=1 e t=x temos respectivamente y(1)=2·1+1=3 e y(x)=2x+1. A região procurada é limitada abaixo pelo eixo t, lateralmente pelas retas t=1 e t=x, e acima pela reta.

Passo 3

Essa região forma um trapézio com altura igual à base no eixo t, isto é, h=x−1, e com bases paralelas de comprimentos B₁=y(1)=3 e B₂=y(x)=2x+1. A área de um trapézio é dada por
A(x)=(B1+B2)cdot h2

Passo 4

Substituindo B₁, B₂ e h, temos
A(x)=(3+(2x+1))(x-1)2=(2x+4)(x-1)2

Passo 5

Podemos fatorar 2 em 2x+4=2(x+2) e simplificar com o denominador:
A(x)=(x-1)(x+2)

Resposta

A(x)=(x-1)(x+2)

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