Considere a função f(x)=rllx^2, & se & x <= 1 2 x-1, & se & x>1
f é derivável em x=1?

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)=x^2,&x<=12x-1,&x>1
E pergunta se ela é derivável em x=1. Estamos trabalhando com derivabilidade de função definida por partes: para responder, precisamos verificar continuidade em x=1 e comparar as derivadas laterais nesse ponto.

Passo 2

Para testar continuidade em x=1, calculamos os limites de ambos os lados e o valor da função:
f(1^-)=1^2=1,
f(1^+)=2cdot1-1=1,
e como f(1)=1 (pela definição quando x<=1), temos
limxto1^-f(x)=limxto1^+f(x)=f(1)=1,
logo f é contínua em x=1.

Passo 3

Agora vamos às derivadas laterais. Primeiro derivamos cada ramo:
f'(x)=2x,&x<12,&x>1
Então
f'(1^-)=2cdot1=2,
f'(1^+)=2
Como as derivadas laterais coincidem (ambas iguais a 2) e a função é contínua em x=1, concluímos que f é derivável em x=1.

Resposta

Sim. A função é derivável em x=1 e f’(1)=2.

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