Escreva os seis primeiros termos da sequência cujo termo geral
é dado em cada caso a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os seis primeiros termos de uma sequência que tem o termo geral dado por $ a_{n} = 2^{n-3} \cdot 3^{3-n} $. Isso envolve entender sequências numéricas e como manipular potências. Vamos precisar calcular $ a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5} $ e $ a_{6} $ usando essa fórmula.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula do termo geral: $ a_{n} = 2^{n-3} \cdot 3^{3-n} $. Aqui, $ n $ representa a posição do termo na sequência. Nosso objetivo é substituir $ n $ por cada número de 1 a 6 e calcular o valor correspondente.
Passo 3
Vamos calcular $ a_{1} $:
Lembrando que $ 2^{-2} = \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4} $ e $ 3^{2} = 9 $.
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular $ a_{2} $:
Sabendo que $ 2^{-1} = \frac{1}{2} $ e $ 3^{1} = 3 $,
Passo 5
Vamos para $ a_{3} $:
Sabemos que qualquer número elevado a 0 é 1,
Passo 6
Calculando $ a_{4} $:
Onde $ 2^{1} = 2 $ e $ 3^{-1} = \frac{1}{3} $,
Passo 7
Agora, $ a_{5} $:
Calculando $ 2^{2} = 4 $ e $ 3^{-2} = \frac{1}{9} $,
Passo 8
Por último, $ a_{6} $:
Aqui, $ 2^{3} = 8 $ e $ 3^{-3} = \frac{1}{27} $,
Resposta
Os seis primeiros termos da sequência são: