Calcule a integral:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Você precisa calcular a integral $ \int \frac{\sqrt{x^{2} - 2}}{x} , dx $. Para resolver isso, vamos utilizar o conteúdo de integração por substituição e álgebra de expressões radicais. Vamos precisar manipular a expressão dentro da raiz e encontrar uma substituição que simplifique a integral.
Passo 2
Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Seja $ t = \sqrt{x^{2} - 2} $. Isso significa que $ t^2 = x^2 - 2 $.
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a $ x $ para encontrar $ dx $ em termos de $ t $ e $ dt $:
Passo 4
Substituímos $ t $ e $ dx $ na integral original:
Passo 5
Sabemos que $ t^2 = x^2 - 2 $, então podemos expressar $ x^2 $ em termos de $ t $:
Substituindo na integral:
Passo 6
Vamos simplificar a fração dentro da integral:
Portanto, a integral fica:
Passo 7
Agora, integramos cada termo separadamente:
E para o segundo termo, reconhecemos a forma da integral de uma função racional:
Aqui, $ a^2 = 2 $, então $ a = \sqrt{2} $.
Passo 8
Substituindo $ a $ na integral:
Passo 9
Voltamos para a variável original $ x $ substituindo $ t = \sqrt{x^2 - 2} $:
Portanto, a solução geral da integral é:
Resposta
A integral de $ \frac{\sqrt{x^{2} - 2}}{x} , dx $ é:
onde $ C $ é a constante de integração.