Calcule a integral: integral raizx^2-2x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Você precisa calcular a integral $ \int \frac{\sqrt{x^{2} - 2}}{x} , dx $. Para resolver isso, vamos utilizar o conteúdo de integração por substituição e álgebra de expressões radicais. Vamos precisar manipular a expressão dentro da raiz e encontrar uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Seja $ t = \sqrt{x^{2} - 2} $. Isso significa que $ t^2 = x^2 - 2 $.

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a $ x $ para encontrar $ dx $ em termos de $ t $ e $ dt $:
x

Passo 4

Substituímos $ t $ e $ dx $ na integral original:
t

Passo 5

Sabemos que $ t^2 = x^2 - 2 $, então podemos expressar $ x^2 $ em termos de $ t $:
t^2 = x^2 - 2
Substituindo na integral:
x^2

Passo 6

Vamos simplificar a fração dentro da integral:
t^2t^2 + 2 = 1 - 2t^2 + 2
Portanto, a integral fica:
integral (1 - 2t^2 + 2) , dt = integral 1 , dt - 2 integral 1t^2 + 2 , dt

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 1 , dt = t
E para o segundo termo, reconhecemos a forma da integral de uma função racional:
integral 1t^2 + a^2 , dt = 1a arctan(ta) + C
Aqui, $ a^2 = 2 $, então $ a = \sqrt{2} $.

Passo 8

Substituindo $ a $ na integral:
a

Passo 9

Voltamos para a variável original $ x $ substituindo $ t = \sqrt{x^2 - 2} $:
x
Portanto, a solução geral da integral é:
t = raizx^2 - 2

Resposta

A integral de $ \frac{\sqrt{x^{2} - 2}}{x} , dx $ é:
raizx^2 - 2x , dx
onde $ C $ é a constante de integração.

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