Determine os limites a seguir, caso existam.
lim x -3 x+3raizx^2+6 x+9

Passo 1

O enunciado pede para estudar o comportamento de
x+3raizx^2+6x+9
quando xto -3. O conteúdo principal aqui é análise de limites laterais e uso da propriedade
x^2+6x+9=(x+3)^2
para reescrever a raiz quadrada em termos de valor absoluto.

Passo 2

Reescrevendo o denominador, temos
raizx^2+6x+9 = raiz(x+3)^2 = lvert x+3rvert
Assim a função fica
x+3raizx^2+6x+9 = x+3lvert x+3rvert

Passo 3

Para xto -3^+ temos x+3>0, logo lvert x+3rvert = x+3 e
x+3lvert x+3rvert = x+3x+3 = 1
Portanto
limxto -3^+x+3raizx^2+6x+9 = 1

Passo 4

Para xto -3^- temos x+3<0, logo lvert x+3rvert = -(x+3) e
x+3lvert x+3rvert = x+3-(x+3) = -1
Portanto
limxto -3^-x+3raizx^2+6x+9 = -1
Como os limites laterais são diferentes, o limite geral não existe.

Resposta

limxto -3^-x+3raizx^2+6x+9 = -1,
limxto -3^+x+3raizx^2+6x+9 = 1,
portanto limxto -3x+3raizx^2+6x+9 não existe.

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