Considere a função F(x)=e^sec (3 x). Então F^prime(x) è dada por
Escolha uma opção:
a. 3 sec (3 x) tan (3 x)
b. sec (3 x) tan (3 x) e^sec (3 x)
C. e^3 sec (3 x) tan (3 x)
d. 3 sec (3 x) tan (3 x) e^sec (3 x)
e. 3 sec ^2(3 x) e^sec (3 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ F(x) = e^{\sec(3x)} $ e precisamos encontrar a sua derivada $ F’(x) $. Isso envolve o conteúdo de derivadas, especificamente a regra da cadeia, que é usada quando temos funções compostas. Vamos precisar lembrar como derivar exponenciais e funções trigonométricas como a secante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que $ F(x) = e^{\sec(3x)} $ é uma função composta. Isso significa que temos uma função dentro de outra: a exponencial $ e^u $, onde $ u = \sec(3x) $.

Passo 3

Para derivar uma função composta, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que $ (e^u)’ = e^u \cdot u’ $. Então, precisamos primeiro derivar o expoente $ u = \sec(3x) $.

Passo 4

Agora, vamos derivar $ u = \sec(3x) $. A derivada da secante é dada por $ \frac{d}{dx}[\sec(v)] = \sec(v) \tan(v) \cdot v’ $, onde $ v = 3x $.

Passo 5

Derivando $ v = 3x $, temos $ v’ = 3 $.

Passo 6

Substituindo de volta, a derivada de $ u = \sec(3x) $ fica:
u = sec(3x)

Passo 7

Agora, aplicamos a regra da cadeia na função original:
F'(x) = e^sec(3x) cdot u' = e^sec(3x) cdot 3 sec(3x) tan(3x)

Resposta

A derivada $ F’(x) $ é:
F'(x)
Portanto, a opção correta é a d.

Exercícios relacionados